Viète-formulák

A Viète-formulák egy polinom gyökei és együtthatói közötti összefüggést határozzák meg. François Viète francia matematikusról (1540–1603) nevezték el őket. Foglalkozását tekintve jogász volt, királyi ügyész és jogtanácsos. Először ő alkalmazott betűt az együtthatók jelölésére, így a gyökök és együtthatók közötti összefüggést az alábbiakhoz hasonló alakban tudta megadni. Formulái segítségével egyszerűbb a függvényeket ábrázolni, valamint az eredmények is könnyebben ellenőrizhetők.

Legyen $P_{\left( x \right)}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}$ egy n-ed fokú polinom és $\frac{{}}{{}}x_{1},x_{2},...x_{n}$ a polinom gyökei, akkor az együtthatók és gyökök közötti összefüggés:

$\left\{ \begin{align} & x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=-\frac{a_{n-1}}{a_{n}} \\ & x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+...+x_{1}x_{n}+...+x_{n-1}x_{n}=\frac{a_{n-2}}{a_{n}} \\ & ... \\ & x_{1}x_{2}...x_{k}+x_{1}x_{2}...x_{k-1}x_{k+1}+...+x_{n-k+1}x_{n-k+2}...x_{n}=\left( -1 \right)^{k}\frac{a_{n-k}}{a_{n}} \\ & ... \\ & x_{1}x_{2}...x_{n}=\left( -1 \right)^{n}\frac{a_{0}}{a_{n}} \\ \end{align} \right.$

A $P_{\left( x \right)}$ polinom felírható mint $P_{\left( x \right)}=a_{n}\cdot \left( x-x_{1} \right)\cdot \left( x-x_{2} \right)\cdot \left( x-x_{3} \right)...\left( x-x_{n} \right)$

Példák

Egy másodfokú polinom $P_{\left( x \right)}=ax^{2}+bx+c$ felírható mint $P_{\left( x \right)}=a\cdot \left( x-x_{1} \right)\cdot \left( x-x_{2} \right)$, ahol $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ a polinom gyökei és a Viète formulák:

$\left\{ \begin{align} & x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} \\ & x_{1}x_{2}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right.$

Egy harmadfokú polinom $P_{\left( x \right)}=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ felírható mint $P_{\left( x \right)}=a\cdot \left( x-x_{1} \right)\cdot \left( x-x_{2} \right)\cdot \left( x-x_{3} \right)$, ahol $\frac{{}}{{}}x_{1,2,3}$ a polinom gyökei és a Viète formulák:

$\left\{ \begin{align} & x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a} \\ & x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\frac{c}{a} \\ & x_{1}x_{2}x_{3}=-\frac{d}{a} \\ \end{align} \right.$

Általánosítása

A Viète-formulák általánosabban is teljesülnek integritási tartományok fölötti polinomokra, amennyiben a főegyüttható invertálható, és a polinomnak ugyanannyi gyöke van, mint amekkora a foka. Az integritási tartomány feltétel ahhoz kell, hogy ne legyen több gyöke, és a gyökei egy skalárszorzó erejéig meghatározza a polinomot. Ha lehetnek többszörös gyökök, akkor a multiplicitásokat is meg kell adni.

Források

• Weisstein, Eric W.: Viète-formulák. MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/VietasFormulas.html (angolul)
• Több változós polinomok