σ-algebra

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A σ-algebra (szigma-algebra) vagy Borel-féle halmaztest, illetve mérhető tér a matematikai struktúrák egy fajtája. Olyan egyszerű (nem-többszörös), egykomponensű topologikus struktúra, amely amellett, hogy egyszerű halmaztestet (halmazalgebrát) képez, az elemei (az ún. „mérhető/nyílt halmazok”) legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok tagú egyesítésére is zárt.

Formális definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Axiómák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen \Omega tetszőleges halmaz, \mathcal{P}(\Omega) az \Omega részhalmazaiból álló hatványhalmaz, és legyen \mathcal{A}\subseteq\mathcal{P}(\Omega) az \Omega részhalmazainak egy halmaza.

Az \mathcal{A} halmazt az \Omega halmaz feletti σ-algebrának nevezzük, ha teljesülnek a következő tulajdonságok:

1. \mathcal{A} nem üres, azaz \mathcal{A}\neq\emptyset.

2. \mathcal{A} tartalmazza bármely eleme (\Omega-ra vonatkozó) komplementerét, vagyis zárt a komplementerképzés műveletére, azaz A\in\mathcal{A}\Rightarrow\overline{A}\in\mathcal{A}.

3. \mathcal{A} tartalmazza bármely legfeljebb megszámlálható halmazcsaládja unióját, vagyis zárt a megszámlálható unióképzésre, azaz A_{i}\in\mathcal{A} (i\in\mathbb{N}) \Rightarrow\bigcup_{i=0}^{\infty} A_{i}\in\mathcal{A}.

A 3. axiómából ered a fogalom elnevezése, mivel az \bigcup_{i=0}^{\infty} A_{i}-t régies jelöléssel \sum_{i=0}^{\infty} A_{i}-nak is szokás írni, vagyis az az egyik követelmény, hogy a halmazok szigma jellel jelölt végtelen szummája is a halmazalgebrába tartozzon. E tulajdonságot egyébként röviden σ-zártságnak szokás nevezni.

Amint a halmazalgebra cikkben olvasható, az 1. axióma helyettesíthető akár az "\mathcal{A} tartalmazza az üres halmazt (\emptyset-t, avagy a valószínűség-számításban a lehetetlen eseményt)", akár az "\mathcal{A} tartalmazza az univerzális halmazt (\Omega-t, avagy a valószínűség-számításban a biztos eseményt)" tulajdonsággal, azaz az \emptyset\in\mathcal{A}, vagy akár az \Omega\in\mathcal{A} axiómákkal, a 2. axióma pedig helyettesíthető az "\mathcal{A} zárt a különbségképzésre", azaz A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\setminus B\in\mathcal{A} axiómával is.

Mérhető tér[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az (\Omega,\mathcal{A}) rendezett pár-t mérhető térnek nevezzük, \mathcal{A} elemeit pedig mérhető halmazoknak.

Összefüggés más struktúratípusokkal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szigma-algebrához legközelebbi struktúrafajta a λ-rendszer fogalma. Ezek fogalmához úgy jutunk, hogy a szigma-zártság követelményét meggyengítjük, és csak a páronként diszjunkt unióra zártságot követeljük meg. Egy halmazcsalád pontosan akkor szigma-algebra, ha λ-rendszer és π-rendszer (azaz megszámlálható metszet-zárt) is egyben.[1]

Ha a 3. axióma helyett az a gyengébb követelményt állítjuk fel, hogy A véges sok tagjának egyesítésére legyen mindig csak feltétlenül zárt; akkor az egyszerű halmaztest fogalmát kapjuk. Ha viszont megerősítjük a 3. axiómát úgy, hogy nemcsak megszámlálható, de megszámlálhatatlanul végtelen családok egyesítésére való zártságát is megköveteljük; s egyúttal a 2. axiómát úgy gyengítjük meg, hogy a különbségre zártság helyett csak a metszetre való zártságot követeljük meg, a topologikus tér fogalmát kapjuk. Belátható, hogy ez tényleg gyengébb követelmény [2]

Bár egy egykomponensű topologikus struktúra igazából egy halmazból és egy efeletti egyetlen halmazcsaládból képezett rendezett pár, a Borel-féle halmaztesten nem ezt, hanem e párnak csak a második tagját szokás érteni. Tehát az Ω feletti Borel-féle halmaztest vagy σ-algebra az Ω részhalmazainak egy megfelelő A halmaza. Magát az (Ω, A) párt mérhető térnek szokás nevezni (a Borel-féle halmaztest és a mérhető tér fogalma közti különbség általában kevéssé releváns).

Halmazelméleti-algebrai tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Halmazalgebra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tetszőleges σ-algebra egyben halmazalgebra is, tehát zárt a véges metszetképzésre, illetve az összes tag uniója megegyezik az Ω tartóhalmazzal (l.o.).

Megszámlálható metszetképzésre való zártság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A halmazalgebrákhoz képest egy szigmaalgebra a legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok tényezős metszetképzésre is zárt. E kijelentés alapja a De Morgan-törvény általánosítása végtelen unióra/metszetre: ha I tetszőleges indexhalmaz, akkor

 \overline{ \bigcap_{i \in I} A_{i} } = \bigcup_{i \in I} \overline{A}_{i} .

Képezve mindkét oldal komplementerét:

 \bigcap_{i \in I} A_{i} = \overline{ \bigcup_{i \in I} \overline{A}_{i} } .

Ha mármost szigma-algebrában vagyunk, azaz A0, A1, …, An, … legfeljebb megszámlálható sok tagú A-beli halmazsorozat, akkor a fentieknek megfelelően

 \bigcap_{i = 0}^{\infty} A_{i} = \overline{ \bigcup_{i=0}^{\infty} \overline{A}_{i} } ;

Ha A szigma-algebra, akkor AiA-nak minden i∈N-re, és így utóbbi komplementerhalmazok diszjunkt uniója is eleme A-nak, ■ QED.

Leszűkítés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen Ω tetszőleges halmaz, Λ⊆Ω és A szigma-algebra az Ω felett. Legyen továbbá A := {X∩Λ | XA}. Ekkor (Λ, A) mérhető tér az Ω felett, amit az (Ω A) tér Λ-ra vonatkozó leszűkítésének nevezünk és (Ω A) jelöl.

Generált algebra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Fő szócikk: Generált szigma-algebra

Igen fontos eszköz a szigma-algebrák definiálásakor a következő tétel által leírt konstrukció:

Tétel: Legyen Ω tetszőleges halmaz, és GP(Ω) az Ω részhalmazainak egy családja! Ekkor létezik olyan Ω feletti σ(G) szigma-algebra, amelynek A minden eleme a tagja; és amely a legszűkebb (legkisebb) a ⊆ relációra nézve; azaz bármely más, az R elemeit elemként tartalmazó szigma-algebrának a részhalmaza (további részletek a fő szócikkben).

Szorzattér[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha (Φ, X) és (Ψ, Y) két mérhető tér, akkor a (Φ×Ψ, σ(X×Y)) is mérhető tér. Ezt a két mérhető étr által generált szorzattérnek vagy szorzat-σ-algebrának mondjuk.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Tetszőleges nemüres Ω halmaz felett σ-algebrát alkot a csak az üres és az univerzális halmazból álló kételemű {∅, Ω} halmaz, ez az Ω feletti triviális σ-algebra.
  2. Tetszőleges nemüres Ω halmaz esetén a teljes Ω⊆P(Ω) halmaz is halmazalgebra, az Ω feletti teljes σ-algebra.
  1. Tetszőleges véges Ω halmaz feletti halmazalgebra mindig szigma-algebra is, hiszen bármely végtelen uniónak effektíve csak véges sok tagja van (értve ezen azt, hogy a tagok közül csak véges sok lehet különböző, hiszen véges halmaznak csak véges sok részhalmaza – így az efeletti szigma-algebráknak csak véges sok tagja – lehet). Így például az Ω := {1,2,3,4,5,6} feletti egy Borel-halmaztest a {∅, {1,3,5}, {2,4,6}, Ω} halmaz. Valószínűségszámítási szempontból ez azért tanulságos példa, mert jelzi, hogy egy eseményalgebrának nem szükséges minden kimenetelt mint elemi eseményt (az Ω egyelemű halmazait) tartalmaznia (ha mindegyiket tartalmazza, akkor véges Ω esetében épp a teljes eseményalgebráról van szó). Ld. még atomhalmaz.
  2. Fontosabb, de bonyolultabban definiálható példák a generált σ-algebra c. fejezetben.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Ambar N. Sengupta: Sigma Algebras (pdf-jegyzet, v. 2007. augusztus 5. 23:51.).
  2. Pl. az Ψ = {1,2} halmazon az A = {∅, {1}, {1,2}} halmaz egy topológiát alkot, zárt az unióra és a metszetképzésre, de nem alkot σ-algebrát: az {1,2}\{1} = {2} halmaz nem tagja A-nak.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]