Unió (halmazelmélet)

Az unió szó további jelentéseihez lásd az Unió (egyértelműsítő lap) című szócikket.

Az unió a halmazelmélet egy művelete, ami két vagy több halmazból úgy képez egy új halmazt, hogy az így létrejövő halmaz az eredeti halmazok összes elemét tartalmazza és más elemet ne tartalmazzon.

Az A és B halmazok uniója

Definíció

Ha $A$ és $B$ halmazok, akkor az $A$ és $B$ egyesítésének (vagy más szóval uniójának) nevezzük és $A\cup B$ (szóban: „á unió bé”) módon jelöljük azon elemek összességét, melyek $A$ illetve $B$ közül legalább az egyikben benne vannak. Ezt szimbolikusan így írjuk: $A\cup B=\{x\mid x\in A \vee x\in B\}$.

Megjegyzés: Azt, hogy $A\cup B$ halmaz, az úgynevezett egyesítési axióma mondja ki.

Hasonlóan el lehet készíteni egy akárhány halmazból álló $\{A_i\,|\,i\in I\}$ halmazrendszer elemeinek $\bigcup_{i\in I} A_i$ unióját:

Legyenek $A_i$ $(i\in I)$ tetszőleges halmazok, ahol $I$ tetszőleges indexhalmaz. Az $A_i$ halmazok egyesítése (vagy más néven uniója) a következő halmaz:

$\bigcup_{i\in I} A_i=\{x\mid \exists i\in I: x\in A_i \}$.

Tulajdonságok

Az halmazok egyesítése idempotens, kommutatív, asszociatív művelet, azaz tetszőleges $A$, $B$, $C$ halmazok esetén:

• $A \cup A=A$; (idempotencia)
• $A \cup B=B \cup A$; (kommutativitás)
• $A \cup (B \cup C)=(A \cup B) \cup C$; (asszociativitás )

illetve az egyesítés disztributív a metszet műveletre, és a metszet művelet disztributív az egyesítésre:

• $A \cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap C)$; (disztributivitás)
• $A \cup (B \cap C)=(A \cup B) \cap (A \cup C)$; (disztributivitás)

továbbá:

• $A \cup \emptyset =A$

Hivatkozások

• Szendrei, Ágnes: Diszkrét matematika Logika, algebra, kombinatorika, Polygon JATE Press, Szeged, 1994