Unió (halmazelmélet)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Az unió szó további jelentéseihez lásd az Unió (egyértelműsítő lap) című szócikket.

Az unió a halmazelmélet egy művelete, ami két vagy több halmazból úgy képez egy új halmazt, hogy az így létrejövő halmaz az eredeti halmazok összes elemét tartalmazza és más elemet ne tartalmazzon.

Az A és B halmazok uniója

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha A és B halmazok, akkor az A és B egyesítésének (vagy más szóval uniójának) nevezzük és A\cup B (szóban: „á unió bé”) módon jelöljük azon elemek összességét, melyek A illetve B közül legalább az egyikben benne vannak. Ezt szimbolikusan így írjuk: A\cup B=\{x\mid x\in A \vee x\in B\}.

Megjegyzés: Azt, hogy A\cup B halmaz, az úgynevezett egyesítési axióma mondja ki.

Hasonlóan el lehet készíteni egy akárhány halmazból álló \{A_i\,|\,i\in I\} halmazrendszer elemeinek \bigcup_{i\in I} A_i unióját:

Legyenek A_i (i\in I) tetszőleges halmazok, ahol I tetszőleges indexhalmaz. Az A_i halmazok egyesítése (vagy más néven uniója) a következő halmaz:

\bigcup_{i\in I} A_i=\{x\mid \exists i\in I: x\in A_i \}.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az halmazok egyesítése idempotens, kommutatív, asszociatív művelet, azaz tetszőleges A, B, C halmazok esetén:

illetve az egyesítés disztributív a metszet műveletre, és a metszet művelet disztributív az egyesítésre:

  • A \cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap C); (disztributivitás)
  • A \cup (B \cap C)=(A \cup B) \cap (A \cup C); (disztributivitás)

továbbá:

  • A \cup \emptyset =A

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Lásd még az asszociativitás szócikket.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Szendrei, Ágnes: Diszkrét matematika Logika, algebra, kombinatorika, Polygon JATE Press, Szeged, 1994