Idempotencia

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában az idempotencia a kétváltozós matematikai műveletek egy tulajdonsága. Idempotensnek nevezzük egy algebrai struktúra valamely elemét a struktúra egy adott kétváltozós műveletére nézve, ha azokban az esetekben, amikor a művelet mindkét operandusa megegyezik az adott elemmel, akkor a művelet eredménye is megegyezik az operandusokkal, azaz a megadott elemmel. Idempotens műveletről beszélünk, ha az adott műveletre nézve a struktúra minden eleme idempotens.

Gyűrűk esetén az idempotenciát mindig a gyűrű szorzás műveletére nézve vizsgáljuk.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen (A;\cdot ) tetszőleges grupoid. Ha valamely a \in A elemre teljesül, hogy a\cdot a=a, akkor azt mondjuk, hogy az a \in A idempotens elem az (A;\cdot ) grupoidban. Ha minden a \in A elemre teljesül, hogy a\cdot a=a, akkor azt mondjuk, hogy a \cdot művelet idempotens az (A;\cdot ) grupoidban.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Gyűrű minden olyan idempotens eleme, amely nem nulla és nem egység, zérusosztó.
  • Bármely (A; \cdot ) félcsoport tetszőleges a \in A idempotens elemére akkor és csak akkor teljesül a bal oldali egyszerűsítési szabály, ha a balegységelem.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Idempotens leképezések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a definícióban szereplő (A;\cdot ) grupoid egy tetszőleges H halmaz leképezéseiből áll (a művelet pedig a leképezések szokásos kompozíciója), akkor A elemeit idempotens leképezésnek nevezzük. Egy f \in A (azaz f: H \rightarrow H) leképezés tehát akkor idempotens, ha f(f(x))=f(x) minden x \in H-ra. Triviális példa az idempotens leképezésre minden konstans függvény, valamint a minden elemet helyben hagyó identitásfüggvény is, de közismert idempotens leképezés a komplex vagy valós számokon értelmezett abszolútérték-függvény is.

Informatikai jelentése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az informatikában gyakran idempotensnek nevezünk egy műveletet, ha ugyanazt az eredményt adja egyszer, illetve többször alkalmazva. Ilyen például a HTTP Get kérés (a Post-tal szemben).

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
  • Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)