Metszet (halmazelmélet)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Az A és B halmazok metszete Venn-diagramon ábrázolva

A metszetképzés a halmazelmélet egy művelete, ami két vagy több halmazból úgy képez egy új halmazt, hogy az így létrejövő halmaz pontosan azokat az elemeket tartalmazza, amelyek az összes eredeti halmaznak is elemei voltak.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha A és B halmazok, akkor az A és B metszetének nevezzük és A\cap B (szóban: „á metszet bé”) módon jelöljük azon elemek összességét, melyek A-nak és B-nek is elemei. Ezt szimbolikusan így írjuk: A\cap B=\{x\mid x\in A \and x\in B\}.

Hasonlóan el lehet készíteni egy akárhány halmazból álló \{A_i\,|\,i\in I\} halmazrendszer elemeinek \bigcap_{i\in I} A_i metszetét:

Legyenek A_i (i\in I) tetszőleges halmazok, ahol I tetszőleges indexhalmaz. Az A_i halmazok metszete a következő halmaz:

\bigcap_{i\in I} A_i=\{x\mid \forall i\in I: x\in A_i \}.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A halmazok metszetképzése idempotens, kommutatív, asszociatív művelet, azaz tetszőleges A, B, C halmazok esetén:

A metszetképzés disztributív az egyesítés műveletre, és az egyesítés művelet disztributív a metszetképzésre:

  • A \cup (B \cap C)=(A \cup B) \cap (A \cup C); (disztributivitás)
  • A \cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap C); (disztributivitás)

továbbá:

  • A \cap \emptyset = \emptyset

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Lásd még az asszociativitás szócikket!

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Szendrei, Ágnes: Diszkrét matematika Logika, algebra, kombinatorika, Polygon JATE Press, Szeged, 1994