Venn-diagram

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A görög ábécé, a latin ábécé és az orosz ábécé Venn-diagramja

A Venn-diagram a halmazokat, azok viszonyait, méretét és műveleteit szemléltető diagram. Többnyire síkidomokat tartalmaz: köröket, téglalapokat, ellipsziseket. John Venn brit matematikus 1880-ban használta először.

Használják az elemi halmazelmélet tanításában, a logikában, valószínűség-számításban, statisztikában, illetve a nyelvészetben. Általában csak néhány halmaz szemléltetésére alkalmas, mivel sok egymást kölcsönösen metsző halmaz esetén az ábra elbonyolódik, vagy nem is lehetséges az összes metszetet ábrázolni.

Leírása, példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A diagramon általában körök jelölik a halmazokat, de általában bármely zárt Jordan-görbe is a diagram részévé válhat. A görbe belseje megfelel egy adott halmaz elemeinek, külseje az adott halmazba nem tartozó elemeknek. Az alaphalmazt általában téglalap jelöli.

Halmazok mérete:

  • Az egyes részekbe írt számok az adott rész méretét jelölik
  • Ha egy részről kiderül, hogy üres, akkor besatírozzák

Halmazok viszonyai:

  • Diszjunkt halmazok, mint különálló körök
  • Részhalmaz, mint a tartalmazó halmaz körében levő kör
  • Metsző halmazok, mint metsző körök

Az ilyen diagramokat Euler-diagramnak is nevezik.

  • Ugyanezek a viszonyok kisatírozással is ábrázolhatók

Műveletek ábrázolása:

  • Unió, mindkét halmaz beszínezése
  • Metszet, a halmazok közös részének beszínezése
  • Differencia, az A\B különbség esetén az A halmaz B-hez nem tartozó részének beszínezése
  • Szimmetrikus differencia, a két különbséghalmaz uniójának beszínezése

Az ábrázolás elbonyolódása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Háromnál több egymást mind metsző halmazt nem lehet csak körökkel ábrázolni. A szimmetrikus diagramokon nem lehet minden metszetet megtalálni, ezért más módot kell találni. Maga Venn készítette az első konstrukciókat, majd A. W. F. Edwards is előállt a maga diagramjaival, amikbe visszahozta a szimmetriát.

Venn konstrukciói[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Venn konstrukciója 4 halmazra
Venn konstrukciója 5 halmazra
Venn konstrukciója 6 halmazra
Venn diagramja négy halmazra ellipszisekkel
Szimmetrikus diagram négy halmazra 13 mezővel. Nincs olyan mező, amiben csak a sárga és a kék, vagy csak a zöld és a rózsaszín metszené egymást

Edwards konstrukciója[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Három halmaz
Négy halmaz
Öt halmaz
Hat halmaz

Ewards ötlete az volt, hogy a Venn-diagramot gömbfelszínen készíti el, majd kivetíti a síkba. Az első három halmazt három egymást metsző főkör határolja, a negyediké meg úgy kanyarog, mint teniszlabdán a varrat. A visszavetítés után fogaskerék alakú halmazok keletkeznek, ahol minden egyes további halmaznak egyre több foga van.

Más tervek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Edwards Venn-diagramja homeomorf a Branko Grünbaum által készített egyre nagyobb oldalszámú sokszögeket tartalmazó diagrammal.

Smith hasonló diagramokat tervezett szinuszgörbék felhasználásával.

Lewis Caroll öt egymást mind metsző halmazra készített Venn-diagramot.

Térbeli Venn-diagram[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A halmazok kölcsönös viszonyait néha térben ábrázolják:

Venn 1000 0000 0000 0000.png Venn 0110 1000 1000 0000.png

Venn 0100 0000 0000 0000.pngVenn 0010 0000 0000 0000.pngVenn 0000 1000 0000 0000.pngVenn 0000 0000 1000 0000.png

Venn 0001 0110 0110 1000.png

Venn 0001 0000 0000 0000.pngVenn 0000 0100 0000 0000.pngVenn 0000 0010 0000 0000.pngVenn 0000 0000 0100 0000.pngVenn 0000 0000 0010 0000.pngVenn 0000 0000 0000 1000.png

Venn 0000 0001 0001 0110.png

Venn 0000 0001 0000 0000.pngVenn 0000 0000 0001 0000.pngVenn 0000 0000 0000 0100.pngVenn 0000 0000 0000 0010.png

Venn 0000 0000 0000 0001.png

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Puska helyett: Halmazok
  • I. Stewart (2004) Another Fine Math You've Got Me Into, Dover Publications Inc. ISBN 0-486-43181-9 ch4
  • A.W.F. Edwards (2004) Cogwheels of the Mind: the story of Venn diagrams, Johns Hopkins University Press, Baltimore and London. ISBN 0-8018-7434-3
  • John Venn (1880.). „On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings”. Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 10 (59), 1–18. o.  

Fordítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Venn diagram című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Venn-diagram témájú médiaállományokat.