Venn-diagram

A görög ábécé, a latin ábécé és az orosz ábécé Venn-diagramja

A Venn-diagram a halmazokat, azok viszonyait, méretét és műveleteit szemléltető diagram. Többnyire síkidomokat tartalmaz: köröket, téglalapokat, ellipsziseket. John Venn brit matematikus 1880-ban használta először.

Használják az elemi halmazelmélet tanításában, a logikában, valószínűség-számításban, statisztikában, illetve a nyelvészetben. Általában csak néhány halmaz szemléltetésére alkalmas, mivel sok egymást kölcsönösen metsző halmaz esetén az ábra elbonyolódik, vagy nem is lehetséges az összes metszetet ábrázolni.

Leírása, példák

A diagramon általában körök jelölik a halmazokat, de általában bármely zárt Jordan-görbe is a diagram részévé válhat. A görbe belseje megfelel egy adott halmaz elemeinek, külseje az adott halmazba nem tartozó elemeknek. Az alaphalmazt általában téglalap jelöli.

Halmazok mérete:

• Az egyes részekbe írt számok az adott rész méretét jelölik
• Ha egy részről kiderül, hogy üres, akkor besatírozzák

Halmazok viszonyai:

• Diszjunkt halmazok, mint különálló körök
• Részhalmaz, mint a tartalmazó halmaz körében levő kör
• Metsző halmazok, mint metsző körök

Az ilyen diagramokat Euler-diagramnak is nevezik.

• Ugyanezek a viszonyok kisatírozással is ábrázolhatók

Műveletek ábrázolása:

• Unió, mindkét halmaz beszínezése
• Metszet, a halmazok közös részének beszínezése
• Differencia, az A\B különbség esetén az A halmaz B-hez nem tartozó részének beszínezése
• Szimmetrikus differencia, a két különbséghalmaz uniójának beszínezése

Az ábrázolás elbonyolódása

Háromnál több egymást mind metsző halmazt nem lehet csak körökkel ábrázolni. A szimmetrikus diagramokon nem lehet minden metszetet megtalálni, ezért más módot kell találni. Maga Venn készítette az első konstrukciókat, majd A. W. F. Edwards is előállt a maga diagramjaival, amikbe visszahozta a szimmetriát.

Venn konstrukciói

Venn konstrukciója 4 halmazra Venn konstrukciója 5 halmazra Venn konstrukciója 6 halmazra Venn diagramja négy halmazra ellipszisekkel Szimmetrikus diagram négy halmazra 13 mezővel. Nincs olyan mező, amiben csak a sárga és a kék, vagy csak a zöld és a rózsaszín metszené egymást

Edwards konstrukciója

Három halmaz	Négy halmaz
Öt halmaz	Hat halmaz

Ewards ötlete az volt, hogy a Venn-diagramot gömbfelszínen készíti el, majd kivetíti a síkba. Az első három halmazt három egymást metsző főkör határolja, a negyediké meg úgy kanyarog, mint teniszlabdán a varrat. A visszavetítés után fogaskerék alakú halmazok keletkeznek, ahol minden egyes további halmaznak egyre több foga van.

Más tervek

Edwards Venn-diagramja homeomorf a Branko Grünbaum által készített egyre nagyobb oldalszámú sokszögeket tartalmazó diagrammal.

Smith hasonló diagramokat tervezett szinuszgörbék felhasználásával.

Lewis Caroll öt egymást mind metsző halmazra készített Venn-diagramot.

Térbeli Venn-diagram

A halmazok kölcsönös viszonyait néha térben ábrázolják:

Források

• Puska helyett: Halmazok
• I. Stewart (2004) Another Fine Math You've Got Me Into, Dover Publications Inc. ISBN 0-486-43181-9 ch4
• A.W.F. Edwards (2004) Cogwheels of the Mind: the story of Venn diagrams, Johns Hopkins University Press, Baltimore and London. ISBN 0-8018-7434-3
• John Venn (1880.). „On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings”. Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 10 (59), 1–18. o.  

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Venn diagram című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

További információk

• F. Ruskey‑M. Weston: Venn-diagramok, képek és újabb eredmények a Venn-diagramokról
• Egyszerű Venn-diagram szimuláció halmazműveletek szemléltetésére Szerzők: Kyle Siegrist & Dawn Duehring