Súlypont

A háromszög súlypontja

Ez a szócikk a súlypont mértani értelmezéséről szól. A fizikai értelmezéshez lásd a tömegközéppont szócikket!

A geometriában, síkban egy síkidom súlypontján a síkidomot egyenlő elsőrendű nyomatékú részre osztó egyenesek metszéspontját nevezzük. N dimenziós esetre általánosítva: az $X$ test súlypontjának azon N-1 dimenziós hipersíkok metszéspontját nevezzük, amelyek $X$-et egyforma elsőrendű nyomatékú részre osztják az N dimenziós térben. Egyszerűbben megfogalmazva, $X$ összes pontjának „átlaga”.

Egy fizikai test mértani súlypontja egybeesik a tömegközéppontjával, ha a test állandó sűrűségű. Az állandó sűrűség elégséges, de nem szükséges feltétel.

A háromszög és a tetraéder súlypontja

A háromszög súlypontja a súlyvonalak (a csúcsokat a szemközti oldalak felezőpontjával összekötő vonalak) metszéspontja. A súlypont a súlyvonalakat 2:1 arányban osztja úgy, hogy a csúcstól távolabb van. Ahogy a jobb oldali ábra mutatja, a súlypont az oldal és a szemközti csúcs közötti merőleges távolság 1/3-ánál található.

A súlypont megegyezik a háromszög tömegközéppontjával, ha a háromszöglap állandó sűrűségű anyagból készült. A súlypont koordinátái Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben a csúcspontok koordinátáinak számtani közepével egyezik meg.

Hasonló a helyzet a tetraédernél: ennek súlypontja a csúcspontokat a szemközti oldallap súlypontjával összekötő szakaszok metszéspontjában van. Ezeket a szakaszokat a súlypont 3:1 arányban osztja úgy, hogy a csúcstól messzebb esik. Ezt az eredményt könnyen lehet általánosítani $n$-dimenziós szimplexekre.

Kúpok és gúlák súlypontja

A kúpok és a gúlák súlypontja a csúcsot az alap súlypontjával összekötő szakaszon van, 3:1 arányban osztja azt, úgy hogy a csúcstól távolabb esik a súlypont.

Súlypont és konvexitás

Egy konvex test súlypontja mindig a testen belül található. Ez a konkáv objektumokra nem minden esetben igaz; például egy gyűrű, vagy egy vödör súlypontja a test középső, üres részében található.

A súlypont definíciója integrállal

Egy síkidom súlypontjának abszcisszáját az alábbi képlettel lehet kiszámolni:

${\frac {\int xf(x)\;dx}{\int f(x)\;dx}}$,

ahol $f(x)$ az idom $x$-re merőleges mérete $x$-nél. Ez az összefüggés a terület y tengelyre vett elsőrendű nyomatékából vezethető le.

Ugyanez az összefüggés írható le egy $\mathbb {R} ^{n}$ dimenziós térben lévő objektum súlypontjának bármelyik $i$ dimenziójára, feltéve, hogy $f(x)$ az objektum keresztmetszetének $(i-1)$-dimenziós mérete az $x$ koordinátánál.

Megjegyezzük, hogy a nevező egyszerűen az objektum $n$-dimenziós mértéke. Abban a speciális esetben, ha f normalizált, vagyis a nevező 1, a súlypont f közepe.

A képlet nem alkalmazható, ha az objektum mértéke zéró, vagy bármelyik integrál divergál.

Ha az objektum rendelkezik egy vagy több szimmetria-tengellyel, a súlypont mindig a szimmetria-tengelyre esik.

Kapcsolódó szócikkek

Papposz–Guldin-tétel

Külső hivatkozások

• Háromszög súlypontja Írta: Antonio Gutierrez a Geometria lépésről lépésre az inkák földjén-ből.
• A súlypont tulajdonságai cut-the-knot