Papposz–Guldin-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Forgásfelület területének számításához

A Papposz–Guldin-tétel két tétel neve, melyek az alexandriai Papposz és Paul Guldin svájci matematikus nevéhez fűződnek. A tétel segítségével forgástestek térfogata és forgásfelületek felszíne számítható ki.

Az első tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen egy síkgörbe ívhosszúsága s. Forgassuk meg a görbét egy, a síkjában fekvő, de a görbét nem metsző t egyenes körül α szöggel. A görbe C súlypontjának távolsága a t tengelyől rs. Az első tétel kijelenti, hogy egy síkgörbe megforgatásával nyert forgásfelület A felszíne egyenlő a görbe s ívhosszúsága és a görbe súlypontjának a forgatás közben leírt útjának (körív) szorzatával:

F = s\cdot r_s\cdot \alpha \,

Itt

r_s \, a görbe súlypontjának távolsága a t tengelytől,
\alpha \, pedig a megforgatás szöge.

Például az r sugarú kört a súlypontja körül R sugarú körön megforgatva származtatott tórusz felszíne:

F = (2\pi r)(2\pi R) = 4\pi^2 R r.\,
Forgástest térfogatának számításához

A második tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen egy A területű síkidom, és egy t egyenes vele egy síkban, mely nem metszi a síkidomot. Ha a síkidomot a t egyenes mint tengely körül α szöggel elforgatjuk, egy V térfogatú forgástestet súrol. A síkidom CA súlypontjának távolsága a t tengelytől Rs. Ennek a forgástestnek a térfogata egyenlő a síkidom területének és a súlypont pályája ívhosszának szorzatával:

V = A\cdot R_s\cdot \alpha \,

A fenti példa tóruszának térfogata tehát:

V = (\pi r^2)(2\pi R) = 2\pi^2 R r^2.\,

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve, 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.