Szögharmadolás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A szög harmadolása (lat.: trisectio), azaz egy tetszőleges szög három egyenlő részre osztása egyike annak a négy nevezetes geometriai szerkesztési feladatnak, amellyel már az ókori görög matematikusok és nyomukban több tudós nemzedék is foglalkozott. (L.: a kocka megkettőzése, szabályos hétszög szerkesztése, a kör négyszögesítése.)

A probléma analízise[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A geometriai szerkesztések elméletének eredménye szerint azok a szerkesztési feladatok, amelyek analitikusan irreducibilis harmadfokú egyenlethez vezetnek, nem oldhatók meg euklideszi szerkesztéssel. A szögharmadolás ilyen, ugyanis a 2\cos\frac{\alpha}{3} ismeretlenre felírt x^3-3x-2\cos\alpha=0 egyenlet valós gyökét kellene megszerkeszteni. Ennek nem minden esetben van analitikus megoldása. Vannak azonban olyan szögek, melyeket az egyenletbe helyettesítve van racionális gyök és ekkor a szerkesztés is elvégezhető. Például: \alpha = \pi esetén az egyenlet: x^3-3x+2=0, ennek valós gyöke x=1, tehát a \beta= \frac{\alpha}{3}=\frac{\pi}{3}=60^\circ szerkeszthető.

A téma története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A feladatot az a kikötés teszi megoldhatatlanná, hogy a szerkesztéshez csak körzőt és vonalzót szabad használni (euklideszi szerkesztés). Az antik matematika történetében a probléma első nyomait az éliszi filozófus Hippiasznál (i.e. 420 k.) találjuk, bár maga a mű elveszett, csupán más szerzők (Proklosz, Papposz 4.sz.) hivatkozásaiból ismerjük. Bizonyára ez is, mint oly sok más téma, még ennél is korábbi eredetű. A megoldhatatlanságát az ókorban már sejtették, de bizonyítása csak az újkori matematikusoknak sikerült. A görög, arab és később az európai matematikusok az euklideszi szerkesztésekhez nem tartozó eszközöket és síkgörbéket használtak a megoldáshoz. Néhányat ezek közül (nem időrendben) bemutatunk.

Trisectio-Archimedes.gif

Arkhimédész (i. e. 250 k.) a szerkesztéshez a körző és a vonalzó mellett a betoló vonalzót (N-vonalzó) használja egy egyenes és egy kör közötti neuszisz szerkesztéshez. Az ABO\triangle és a BOP\triangle egyenlő szárú háromszögekre és a külső szögekre vonatkozó tételekből a szerkesztés helyessége kiolvasható.

Trisectio-Nikomedes.gif

Nikomédész (i. e. 240 k.) az előbbivel csaknem egyidejű megoldásában feltehetően az általa konstruált konchoisz körzőt is használta. Itt az N-vonalzót alkalmazó megoldást láthatjuk. Az előbbitől abban is különbözik, hogy két egyenes közötti neusziszt szerkeszt. Az igazoláshoz az előzőhöz hasonló tételek mellett Thalész (i.e.530 k.) tételét is felhasználja.

Trisectio-Hippias.gif

Hippiász (i. e. 420 k.) az elsőként ismert megoldásban az általa felfedezett, ún. kvadratrix görbét használja. A polárkoordinátákban r\sin\varphi = \varphi egyenletű görbe pontjainak ordinátája y = r\sin\varphi arányos lévén a \varphi azimuttal, tehát a szerkesztés ennek a szakasznak az egyenlő részekre osztásával történik. Ebből következik, hogy a görbe egy szög tetszőleges számú egyenlő, vagy akármilyen arányú felosztására is alkalmazható.

Trisectio-Spiral.gif

Az Arkhimédész-féle spirál, az r = k\varphi poláris egyenletű görbe ugyanúgy használható a szög tetszőleges számú és tetszőleges arányú felosztására, mint a quadratrix. Itt az OP rádiuszt kell arányosan osztani.

Trisectio-Pappos.gif

Az alexandriai Papposz (i. sz. IV. sz.) a Matematikai gyűjteményében többek között kimutatta, hogy a szög harmadolása kör és hiperbola metszésével is megoldható. Ehhez meg kell rajzolni egy olyan hiperbolát, aminek (lineáris) excentrumossága a valós féltengely kérszerese: c = 2a . Az egyik csúcs (A) és a másik fókusz (F_2), mint húr fölé 180^o-\alpha látószögnek megfelelő körívet kell szerkeszteni.

Trisectio-Bolyai.gif

Az alig 17 éves Bolyai János (XIX. sz.) egy feljegyzéséből következik egy egyszerűbben kivitelezhető szerkesztés, ami az xy = 1 hiperbolát használja. Az origóban felmért \alpha szög szára által kimetszett C(u,v) pont körül 2r = OC sugárral rajzolt kör és a hiperbola P(a,b) metszéspontja olyan CP egyenest ad, ami az abszcissza tengellyel \beta=\alpha/3 szöget zár be.

Néhány további megoldás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ókori próbálkozók a koordinátageometriát még nem ismerték. A Descartes-ot követő nemzedékek egyrészt az ókori megoldások görbéinek analitikus vizsgálatával foglalkoztak, majd újabb görbéket vontak be a probléma megoldásába, illetve konstruáltak a szerkesztés elvégzéséhez.

Trisectio-Descartes.gif

A francia Pascal (1623-62) a limaçon (Pascal-csiga) nevű görbét használta.

Trisectio-Maclaurin.gif

Az angol Maclaurin (1698-1746) a feladathoz készített trisectrix (harmadoló) nevű görbét használta.

Trisectio-Parabola.gif

A XIX. század végén H. Kortum és Henry John Stephen Smith egymástól függetlenül kimutatta, hogy a feladat (más megoldhatatlan szerkesztésekkel együtt) bármilyen körtől különböző kúpszelet felhasználásával elvégezhető. Egy ilyen, az y = x^2 parabolát használó szerkesztést mutat az ábra. (Látható, hogy a megoldás a gyakorlatban nem nagyon használható, csupán az elvi lehetőséget illusztrálja.)

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Courant – Robbins: Mi a matematika? (Gondolat, 1966)
  • Dörrie, Heinrich: A diadalmas matematika (Gondolat, 1965)
  • Hajós György: Bevezetés a geometriába (Tankönyvkiadó, 1960)
  • Reinhardt, F. – Soeder, H.: SH atlasz-Matematika (Springer-Verlag, 1993)
  • Ribnyikov, K. A.: A matematika története (Tankönyvkiadó, 1968)
  • Sain Márton: Matematikatörténeti ABC (Nemzeti Tankönyvkiadó - Typotex, 1993)
  • Strathern, Paul: Arkhimédész (Elektra Alkotóház, é.n.)
  • Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei (Közoktatásügyi Kiadóvállalat, 1951)
  • Szökefalvi-Nagy Gyula: A geometriai szerkesztések elmélete (Akadémiai Kiadó, 1968)
  • Waerden, B. L.: Egy tudomány ébredése (Gondolat, 1977)