Geometriai szerkesztések

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A geometriai szerkesztés a geometriai feladatoknak az a típusa, amelyekben adott elemekből meghatározott feltételeknek eleget tevő további elemeket kell létrehozni.

Szűkebb értelemben a síkgeometriai szerkesztési feladatban pontok, egyenesek és körök lehetnek mind az adott, mind a megszerkesztendő alakzatok. A feladat feltételei pedig a metszés, illeszkedés, érintés mellett bizonyos metrikus tulajdonságokat (szög, szakasz, terület stb.) írhatnak elő. Ez a szigorúbb megfogalmazás nem zárja ki az említett elemekből összetett alakzatok (pl. sokszögek, körcikkek stb.) szerepeltetését. A térbeli szerkesztési feladatokat általában síkbeli feladatokra vezetjük vissza. Erre a technikára specializálódott az ábrázoló geometria.

Szerkesztő eszközök[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tiszta geometriai megoldás az eredmény elvi megalkotását kívánja meg. A gyakorlati feladatoknál az eredmény anyagi reprezentációját is megkövetelhetik. (Egy alkatrésznek nem csupán a rajzára, de magára a munkadarabra is szükség van.) Éppen ezért a gyakorlat számára minden módszer megengedett: a cél szentesíti az eszközt. Az ókori görög matematikusok az elméleti feladatok megoldására is használtak többféle eszközt a körző és a vonalzó mellett. A kioszi Oinopidész tankönyvében (i.e. 450 k.) még bőven találunk ilyen szerkesztéseket.

Platóni elmélet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az i.e. 4. században a görög tudomány fő irányzatát adó Platón a geometriai szerkesztéseket csoportosítja a megoldáshoz felhasznált eszközök szerint :

  • 1. A csak egyélű vonalzót és körzőt használó,
  • 2. – ezen kívül valamilyen kúpszelet ívet használó,
  • 3. – még valamilyen eszközt használó

szerkesztések. A rangsor a Platón-i ideák elméletének megfelelően az absztrakt és nemes –től indul, a mechanikus és földi –nél végződik. (Megjegyzi még, hogy csak a körzőt tekinti „ideális” eszköznek.)

Eukleidész és az Elemek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Platón után egy évszázaddal Eukleidész az Elemek-ben már teljesen mellőzi a körző és a vonalzó mellett más eszközök használatát. Ezért nevezzük ezeket a szerkesztéseket euklideszi szerkesztésnek. Noha Eukleidész munkája az i.e. 3. századot követően etalon volt egészen Bolyai és Lobacsevszkij fellépéséig, az ókori matematikusok még Eukleidész után is használtak meg nem engedett eszközöket utolsó mentségként.

Nemeuklideszi szerkesztések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Korlátozott eszköz használat és véges rajzfelület[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az elméleti feladatok klasszikus körzős-vonalzós megoldásánál feltesszük, hogy a vonalzó tetszőlegesen hosszú, s így bármilyen pontpár távolságát áthidalhatja. E feltétel nélkül nem lehetne igaz Eukleidész 1. posztulátuma: „…minden pontból minden pontba egyenes húzható”. Ugyanígy feltesszük, hogy a körző akármilyen nagyra és akármilyen kicsire kinyitható.

A szerkesztések elmélete foglalkozik azokkal a feladatokkal, amelyek véges vonalzóval, illetve minimális és maximális nyílású körzővel végezhetők el. Hasonlóan találkozhatunk olyan feladatokkal, amikor a rajzlapon kívülre esnek a szerkesztésnél felhasználandó elemek.

Kevesebb eszköz[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az euklideszitől való eltérés másik útja az egyik eszköz mellőzése. Bebizonyították, hogy minden euklideszi szerkesztés elvégezhető

Az első esetben egy egyenest két pontjával „szerkesztünk” meg, míg a második esetben egy kört három pontjával, vagy egy pontjával és a centrumával. A kapott alakzatok megrajzolása csupán láthatóvá teszi a végeredményt.

Több eszköz[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Még az euklideszi kritériumok közelében maradunk, ha megengedünk néhány összetett vonalzót a körzővel és vonalzóval is elvégezhető lépések egyszerűsítésére. Ilyen az L alakú derékszög-vonalzó, a kétféle háromszög-vonalzó és a rajztábla tartozéka a fejesvonalzó. Az ókori görög geométerek részben hasonló célú eszközökkel, részben a körzővel-vonalzóval megoldhatatlan feladatokra specializált eszközökkel is dolgoztak. Ilyen eszközök később is készültek:

Papírhajtogatás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Japánban művészetként is művelt origami alkalmas sok (de nem minden) euklideszi, valamint néhány megoldhatatlan euklideszi feladat elvégzésére.

Négy klasszikus probléma[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ókori görög geometria az utókorra hagyta részben megoldatlanul az alábbi négy szerkesztési feladatot. Néhány esetben találtak olyan nemeuklideszi megoldást, melyhez a körzőn és a vonalzón kívül más görbé(ke)t és/vagy eszköz(öke)t használtak. Az utódok csak sokára tudtak felelni a kihívásra, s kimutatták, hogy a keresett megoldások nem is léteznek. A négy megoldatlan – megoldhatatlan ókori szerkesztési feladat:

A kocka kettőzése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Déloszi probléma, azaz olyan kocka élét kell megszerkeszteni, amelyik egy adott kocka térfogatának kétszerese. Legkorábban a khioszi Hippokratész (i.e.430) foglalkozik vele, de gyökerei Babilonba nyúlnak vissza. (Általánosabban a kockát adott arányban kell megnövelni.)

A szög harmadolása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Trisectio, azaz tetszőleges szög harmadrészének megszerkesztése. Először Arkhimédész (i.e.250 k.) adott rá megoldást neuszisz szerkesztéssel. Később Papposz (i.sz. 320 k.) megsejtette, hogy a feladat megoldhatatlan, amit Wantzel (1836) bizonyított be. (Általánosításai: (1)- tetszőleges szög akárhány egyenlő részre osztása; (2)-tetszőleges szög adott arányban való felosztása.)

A kör négyszögesítése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Adott sugarú körrel egyező területű négyzet oldalának megszerkesztése (vagy a kör kerületével megegyező szakasz szerkesztése, a körvonal kiegyenesítése). Arisztophanész a Madarak c. színművében (i. e. 414) tesz róla említést az egyik szereplő. A probléma algebrai megfelelője a Ludolph-féle szám, a \pi kiszámítása. A végleges megoldást Lindemann (1880) adta meg, bebizonyítva, hogy a \pi irracionális.

A körosztás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Adott körbe írható tetszőleges oldalszámú szabályos sokszög szerkesztése. Eukleidésznél több szabályos sokszög szerkesztése szerepel (3, 4, 5, 6, 15), de a görögök nem tudták a szabályos 7-szöget megszerkeszteni. Gauss találta meg a 17-szög szerkesztését (1796), majd Wantzellel közösen mutatták meg, hogy melyek a körzővel-vonalzóval megszerkeszthető sokszögek: a 7-szög nem ilyen.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Courant – Robbins: Mi a matematika? (Gondolat, 1966)
  • Dörrie, Heinrich: A diadalmas matematika (Gondolat, 1965)
  • Hajós György: Bevezetés a geometriába (Tankönyvkiadó, 1960)
  • Ribnyikov, K.A.: A matematika története (Tankönyvkiadó, 1968)
  • Sain Márton: Matematikatörténeti ABC (Nemzeti Tankönyvkiadó - Typotex, 1993)
  • Strathern, Paul: Arkhimédész (Elektra Alkotóház, é.n.)
  • Waerden, B.L.: Egy tudomány ébredése (Gondolat, 1977)
  • Szökefalvi-Nagy Gyula: A geometriai szerkesztések elmélete (Akadémiai Kiadó, 1968)