Körnégyszögesítés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A Rhind-papiruszban megadott közelítő megoldás

A kör négyszögesítése (kvadratúrája[1]) az a szerkesztési feladat, melynek lényege adott kör területével egyenlő területű négyzet szerkesztése. Modern terminológiával ez a feladat úgy is megfogalmazható, miszerint (csak mértani eszközök felhasználásával) szerkesztendő egy √π oldalhosszúságú négyzet (az egységszakasz mint szerkesztési adat ismeretében).

A probléma rokon, de nem azonos a π hosszúságú szakasz megszerkesztésével (rektifikációs v. körkiegyenesítési feladat). Ugyanis a görög matematikusok geometrikus szemlélete alapján a síkidomok területének fogalma némileg különbözik a mai és részben más antik kultúrák értelmezésétől. Ez utóbbi szerint egy síkidom területének mértéke azt fejezi ki, hogy az idom hányszorosa az egység oldalú négyzetnek. A görögök az idom területével megegyező négyzettel, az oldalának hosszával jellemezték a méretet.[2] Ezért az ilyen területszerkesztési feladatokat a négyszögesítés (pontosabban négyzetesítés), latinul a quadratura névvel illetjük.

A körkvadratúra – minthogy egyszerűen megfogalmazható, mégis rendkívül nehéznek bizonyult – egyike volt a matematika igen népszerű problémáinak a történelem során. Számosan – nemcsak matematikusok, hanem műkedvelők is – foglalkoztak vele, ami, tekintve a feladat gyakorlati életben való meglehetős jelentéktelenségét, figyelemre méltó. Számos téves „megoldás” született, intellektuálisan meglehetősen nagyra becsült emberektől is. Mivel több országban magánszemélyek vagy matematikai társaságok jutalmat tűztek ki a megoldó számára, ez csak tovább fokozta a feladatot körüllengő kultuszt. Amikor a feladat megoldhatatlansága kiderült, az meglehetős megdöbbenést keltett.

A kvadratúra és a rektifikáció kapcsolata[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Analóg feladat a kör kiegyenesítése (rektifikációja), vagyis a kör kerületével egyező hosszúságú szakasz megszerkesztése. A két feladat kapcsolatával már Babilonban is tisztában voltak, amikor a kör kerületét a k=6r , míg a területét a t=3r^2 képlettel számolták. Azt a tételt, hogy a kör területe megegyezik egy olyan háromszögével, aminek alapja a kör kerülete, magassága pedig a kör sugara (t=kr/2), azonban csak Arkhimédész (i. e. 250 k.) bizonyította be.

Könnyen belátható, hogy a körrektifikációs és a körkvadratúra-szerkesztések ekvivalensek a következő értelemben: ha az egyik megoldható euklideszi szerkesztéssel, akkor a másik is, és fordítva: ugyanis egy számból annak gyöke, vagy négyzete egyszerűen megszerkeszthető részben a párhuzamos szelők tétele, részben a magasságtétel segítségével. Ezért az egyik feladat megoldása igen könnyen maga után vonná a másik megoldását is.

A körnégyszögesítési feladat megoldhatósága[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A feladat euklideszi szerkesztéssel nem oldható meg. Ezt az ókorban is sejtették, de csak 1882-ben bizonyította be Ferdinand von Lindemann, hogy a π szám transzcendens, vagyis nem gyöke semmilyen racionális együtthatójú polinomiális egyenletnek. Néhány évtizeddel korábban ismert volt, hogy amennyiben a π transzcendens, akkor a kör négyszögesítése euklideszi szerkesztéssel lehetetlen.

Pi-szerkeszt-approx.gif

A szerkesztés nemeuklideszi módon való elvégzéséhez a görögök különféle eszközöket (neuszisz vonalzó, konhoisz körző stb.) és síkgörbéket (hiperbola, quadratrix, konhoisz, cisszoisz stb.) használtak. A számítógépes tervezést (CAD) megelőzően a műszaki rajzolók a \pi hosszúságú, illetve egy félkör kerületével egyező szakaszt az ábrán látható elrendezéssel szerkesztették meg (Kochanski-féle szerkesztés). Az AC átmérőjű (itt r = 1 sugarú) kör középpontjából az átmérővel 30°-os szögben húzott egyenes az érintőt a D pontban metszi. Innen a C irányba felmérjük a sugár 3-szorosát. Az ABC derékszögű háromszög befogói: AC = 2, illetve BC = 3 - \tan{30^o} = 3 - 1/\sqrt{3}. Az átfogó a Pitagorasz-tétellel:

  • AB = \sqrt{\frac{40-6\sqrt{3}}{3}}\approx 3,14153\dots ,

ami a \pi=3,141592653589793… pontos értékét 4 tizedesre közelíti, azaz a hiba kevesebb, mint 6\cdot10^{-5}.

A Rhind-papiruszban (i. e. 2000 k.) közölt legkorábbi megoldás csupán próbálkozás eredménye. (A kör átmérője = 9, a négyzet oldala = 8).

Ismeretesek ennél pontosabb, de a gyakorlat számára használhatatlanul komplikált szerkesztések is. Például Srínivásza Rámánudzsan indiai matematikus 1914-ben talált módszere, ami a pi 8 tizedesjegyig pontos közelítő értékének felel meg:

\left(9^2 + \frac{19^2}{22}\right)^{1/4} = \sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3,1415926525826461253\dots

Szintén lehetséges a kör négyszögesítése a nem-euklideszi térben.

Körnégyszögítés a kultúrában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Thomas Mann Varázshegyének egyik államügyész szereplője megszállott körnégyszögesítő: keresi a probléma megoldását.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források és jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. A quadratura circuli, i.e. „a kör négyszög(es)ítése” latin kifejezésből.
  2. Például: az a és b oldalú téglalap területe azzal az x oldalú négyzetével egyezik, amelyre igaz, hogy a : x = x : b. Ez pedig az a és b szakaszok mértani közepe, ami körzővel-vonalzóval megszerkeszthető.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]