Párhuzamos szelők tétele

A párhuzamos szelők tétele az elemi geometria egyik alapvető tétele. Azt mondja ki, hogy ha adott két egymást metsző egyenes és az egyiken két szakasz, és e szakaszok végpontjain át olyan párhuzamosokat húzunk, amelyek a másik egyenest metszik, akkor a második egyenesen keletkezett szakaszok hosszának aránya egyenlő az első egyenesen a nekik megfelelő szakaszok hosszának az arányával.

A tétel egzakt megfogalmazásai

• Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik szögszáron keletkező szakaszok hosszának aránya megegyezik a másik szögszáron keletkező megfelelő szakaszok hosszának arányával.
• Legyen e és f két egymást metsző egyenes; metszéspontjukat jelölje A! Legyen továbbá B és D két A-tól különböző pont e-n, és legyen C és E két A-tól különböző pont f-en úgy, hogy a BC és DE egyenesek párhuzamosak! Ekkor

$\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|AE|}{|AC|}$ (illetve, ha ez igaz, akkor és csak akkor $\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AE|}{|EC|}$ is igaz)

• 

  Első helyzet

• 

  Második helyzet

Felfedezője

A párhuzamos szelők tételét Thalész fedezte fel az i.e. 6. században, és ezért a tételt egyes nyelveken (olasz, francia, spanyol, orosz) kis Thalész-tétel vagy Thalész első tétele néven említik. (A magyar szóhasználatban Thalész-tételként emlegetett állítás ezeken a nyelveken a nagy Thalész-tétel vagy Thalész második tétele.)

A tétel bizonyításával együtt szerepel Euklidész: Elemek című könyvében.

Bizonyítás

Ha az arány irracionális, a tétel akkor is igaz és bizonyítható.

Egy bizonyítás

Háromszögterületes bizonyítás

$\frac{AD}{DB}=\frac{T_{ADE\mathcal{4}}}{T_{BDE\mathcal{4}}}$, mert a háromszögeknek magassága (m) megegyezik, csak az alapjuk különbözik. Hasonlóan $\frac{AE}{EC}=\frac{T_{ADE\mathcal{4}}}{T_{ECD\mathcal{4}}}$. Viszont $T_{BDE\mathcal{4}}=T_{ECD\mathcal{4}}$, mert alapjuk (|DE|) és magasságuk is megegyezik, tehát $\frac{T_{ADE\mathcal{4}}}{T_{BDE\mathcal{4}}}=\frac{T_{ADE\mathcal{4}}}{T_{ECD\mathcal{4}}}$, ebből következően $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$, amit bizonyítani kellett.

A tétel megfordítása

A tétel megfordítása is igaz, vagyis ha két egyenes egy szög száraiból olyan szakaszokat metsz ki, amelyeknek aránya mindkét száron egyenlő, akkor a két egyenes párhuzamos.

Bizonyítás

A bizonyítás indirekt: tegyük fel, hogy $\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AE|}{|EC|}$, de DE nem párhuzamos BC-vel. Húzzuk tehát be azt a h egyenest a B ponton keresztül, ami párhuzamos DE-vel! Legyen h és f metszéspontja C! A párhuzamosság miatt felírhatjuk a párhuzamos szelők tételét: $\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AE|}{|EC'|}$. A feltetellel összevetve $\frac{|AE|}{|EC|}=\frac{|AE|}{|EC'|}$, tehát $|EC|=|EC'|$, vagyis $C \equiv C'$, így viszont a $DE \mathcal{k} BC$, tehát a tétel megfordítása igaz.

Lásd még

• Hasonlóság
• Thalész
• Elemek
• Párhuzamos szelőszakaszok tétele