Párhuzamos szelők tétele

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A párhuzamos szelők tétele az elemi geometria egyik alapvető tétele. Azt mondja ki, hogy ha adott két egymást metsző egyenes és az egyiken két szakasz, és e szakaszok végpontjain át olyan párhuzamosokat húzunk, amelyek a másik egyenest metszik, akkor a második egyenesen keletkezett szakaszok hosszának aránya egyenlő az első egyenesen a nekik megfelelő szakaszok hosszának az arányával.[1]

A tétel egzakt megfogalmazásai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik szögszáron keletkező szakaszok hosszának aránya megegyezik a másik szögszáron keletkező megfelelő szakaszok hosszának arányával.
  • Legyen e és f két egymást metsző egyenes; metszéspontjukat jelölje A! Legyen továbbá B és D két A-tól különböző pont e-n, és legyen C és E két A-tól különböző pont f-en úgy, hogy a BC és DE egyenesek párhuzamosak! Ekkor
\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|AE|}{|AC|} (illetve, ha ez igaz, akkor és csak akkor \frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AE|}{|EC|} is igaz)

Felfedezője[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A párhuzamos szelők tételét Thalész fedezte fel az i.e. 6. században,[2] és ezért a tételt egyes nyelveken (olasz, francia, spanyol, orosz) kis Thalész-tétel[3] vagy Thalész első tétele[4] néven említik. (A magyar szóhasználatban Thalész-tételként emlegetett állítás ezeken a nyelveken a nagy Thalész-tétel vagy Thalész második tétele.)

A tétel bizonyításával együtt szerepel Euklidész: Elemek című könyvében.[1]

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha az arány irracionális, a tétel akkor is igaz és bizonyítható.

Egy bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Háromszögterületes bizonyítás

\frac{AD}{DB}=\frac{T_{ADE\mathcal{4}}}{T_{BDE\mathcal{4}}}, mert a háromszögeknek magassága (m) megegyezik, csak az alapjuk különbözik. Hasonlóan \frac{AE}{EC}=\frac{T_{ADE\mathcal{4}}}{T_{ECD\mathcal{4}}}. Viszont T_{BDE\mathcal{4}}=T_{ECD\mathcal{4}}, mert alapjuk (|DE|) és magasságuk is megegyezik, tehát \frac{T_{ADE\mathcal{4}}}{T_{BDE\mathcal{4}}}=\frac{T_{ADE\mathcal{4}}}{T_{ECD\mathcal{4}}}, ebből következően \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}, amit bizonyítani kellett.[5]

A tétel megfordítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tétel megfordítása is igaz, vagyis ha két egyenes egy szög száraiból olyan szakaszokat metsz ki, amelyeknek aránya mindkét száron egyenlő, akkor a két egyenes párhuzamos.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A bizonyítás indirekt: tegyük fel, hogy \frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AE|}{|EC|}, de DE nem párhuzamos BC-vel. Húzzuk tehát be azt a h egyenest a B ponton keresztül, ami párhuzamos DE-vel! Legyen h és f metszéspontja C! A párhuzamosság miatt felírhatjuk a párhuzamos szelők tételét: \frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AE|}{|EC'|}. A feltetellel összevetve \frac{|AE|}{|EC|}=\frac{|AE|}{|EC'|}, tehát |EC|=|EC'|, vagyis C \equiv C', így viszont a DE \mathcal{k} BC, tehát a tétel megfordítása igaz.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Külső hivatkozások és források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]