Transzcendens számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Transzcendens szám szócikkből átirányítva)

A matematikában azokat a valós és komplex számokat nevezik transzcendensnek, amelyek nem algebrai számok, amelyek tehát nem gyökei egész (vagy racionális) együtthatós polinomnak, más szóval nem megoldásai

 a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0

alakú egyenletnek, ahol n ≥ 1, az együtthatók egészek és nem mind egyenlőek nullával.

Noha a valós és komplex számok nagy többsége transzcendens (azaz csak megszámlálható sok algebrai szám van az összes számok kontinuum számosságú halmazában Cantor, 1874), adott számról ezt általában igen nehéz belátni.

Az e számról Hermite 1873-ban igazolta, hogy transzcendens. Módszerét továbbfejlesztve Lindemann 1882-ben bebizonyította, hogy π is transzcendens. Ebből már következik a körnégyszögesítés megoldhatatlansága, azaz hogy nem lehet körzővel és vonalzóval adott négyzettel egyenlő területű kört szerkeszteni. Lindemann azt az erősebb állítást igazolta, hogy ha β1, ..., βn egymástól, a1, ..., an pedig nullától különböző algebrai számok, akkor

a_1 e^{\beta_1} + \cdots+a_n e^{\beta_n} \ne 0.

Innen azonnal adódik, hogy π nem lehet algebrai, hiszen fennáll a nevezetes e+1=0 Euler-összefüggés. 1934-ben Alekszandr Oszipovics Gelfond és Theodor Schneider egymástól függetlenül igazolták, hogy ha a∉{0,1}, a algebrai szám, b pedig irracionális algebrai szám, akkor ab transzcendens, ilyen szám például a √22.

Az 1960-as években Alan Baker bebizonyította, hogy ha α1, ..., αn nemnulla algebrai számok, amelyekre log α1, ..., log αn lineárisan függetlenek a racionális test fölött, akkor 1, log α1, ..., log αn lineárisan függetlenek az algebrai számok teste fölött.[1]

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Wiktionary-logo-hu.png
Nézd meg a Transzcendens szám címszót a Wikiszótárban!