Transzcendens szám

A matematikában azokat a valós és komplex számokat nevezik transzcendensnek, amelyek nem algebrai számok, amelyek tehát nem gyökei egész (vagy racionális) együtthatós polinomnak, más szóval nem megoldásai

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0 = 0$

alakú egyenletnek, ahol n ≥ 1, az együtthatók egészek és nem mind egyenlőek nullával.

Noha a valós és komplex számok nagy többsége transzcendens (azaz csak megszámlálható sok algebrai szám van az összes számok kontinuum számosságú halmazában Cantor, 1874), adott számról ezt általában igen nehéz belátni.

Az e számról Hermite 1873-ban igazolta, hogy transzcendens. Módszerét továbbfejlesztve Lindemann 1882-ben bebizonyította, hogy $π$ is transzcendens. Ebből már következik a körnégyszögesítés megoldhatatlansága, azaz hogy nem lehet körzővel és vonalzóval adott négyzettel egyenlő területű kört szerkeszteni. Lindemann azt az erősebb állítást igazolta, hogy ha $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ egymástól, $a_1,\ldots,a_n$ pedig nullától különböző algebrai számok, akkor

$a_1 e^{\alpha_1}+\cdots+a_n e^{\alpha_n}\neq 0.$

Innen azonnal adódik, hogy $\pi$ nem lehet algebrai, hiszen fennáll a nevezetes $e^{i\pi}+1=0$ egyenlőség. 1934-ben A. O. Gelfond és T. Schneider igazolták, hogy ha $a\neq0$ , $a$ algebrai szám, $b$ pedig irracionális algebrai szám, akkor $a^b$ transzcendens, ilyen szám például $2^{\sqrt{2}}$ .

Az 1960-as években Alan Baker bebizonyította, hogy ha $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ nemzéró algebrai számok, amikre $\log\alpha_1,\ldots,\log\alpha_n$ lineárisan függetlenek a racionális test fölött, akkor $1, \log\alpha_1,\ldots,\log\alpha_n$ lineárisan függetlenek az algebrai számok teste fölött.^[1]