Catalan-állandó

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a G Catalan-állandó időnként a kombinatorikai becslésekben fordul elő. Definíciója:

G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!

ahol β a Dirichlet-féle bétafüggvény. Numerikus értéke közelitően[1]

G = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

Nem ismeretes, hogy a G vajon irracionális szám-e, arról nem is beszélve, hogy transzcendens-e.

Az állandót Eugène Charles Catalan (1814–1894) belga matematikusról nevezték el.

Integrálazonosságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

G = \int \limits _0^1 \int \limits _0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy \!
G = -\int \limits _{0}^{1} \frac{\ln(t)}{1 + t^2} \,dt \!
G = \int \limits _{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin(t) \cos(t)} \;dt \!
G = \tfrac14 \int \limits _{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{t}{\sin(t)} \;dt \!
G = \int \limits _{0}^{\pi/4} \ln ( \cot(t) ) \,dt \!
G = \int \limits _{0}^{\infty} \arctan (e^{-t}) \,dt \!
 G = \int \limits _0^1 \frac{\arctan t}{t}\,dt \!.

és

 G = \tfrac12\int \limits _0^1 \mathrm{K}(x)\,dx \!

ahol K(x) egy teljes első fajú elliptikus integrál.[2]

Alkalmazás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A G többnyire a kombinatorikában fordul elő, valamint a második poligamma-függvény értékeiben, melyet trigamma-függvénynek is hívnak (tört argumentummal):

 \psi_{1}\left(\frac{1}{4}\right) = \pi^2 + 8G
 \psi_{1}\left(\frac{3}{4}\right) = \pi^2 - 8G.

Simon Plouffe (1956) kanadai matematikus egy végtelen azonossággyűjteményt szerkesztett, a \pi^2 trigamma-függvény és a Catalan-állandó között; ezek az összefüggések gráfokkal kifejezhetőek. A G feltűnik a hiperbolikus metsző típusú eloszlásban is.

Gyorsan konvergáló sorozatok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A következő két képlet gyorsan konvergáló sorozatokat tartalmaz, ezért alkalmas numerikus számításokra:

G = \, 3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}}
\left(
-\frac{1}{2(8n+2)^2}
+\frac{1}{2^2(8n+3)^2}
-\frac{1}{2^3(8n+5)^2}
+\frac{1}{2^3(8n+6)^2}
-\frac{1}{2^4(8n+7)^2}
+\frac{1}{2(8n+1)^2}
\right) -

2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}}
\left(
\frac{1}{2^4(8n+2)^2}
+\frac{1}{2^6(8n+3)^2}
-\frac{1}{2^9(8n+5)^2}
-\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2}
-\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2}
+\frac{1}{2^3(8n+1)^2}
\right)

és

G = \frac{\pi}{8} \log(\sqrt{3} + 2) + \tfrac38 \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!(2n+1)^2}.

Az ilyen sorozatok elméleti alapjai Broadhursttől (első képlet),[3], illetve Ramanujantól (második képlet)[4] származnak. A Catalan-állandó gyors számítási algoritmusát E. Karatsuba alkotta.[5][6]

Számjegyeinek száma[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Catalan-állandó ismert tizedesjegyeinek száma drámai módon emelkedett az utóbbi évtizedekben. Ez részben a számítógépek teljesítménynövekedésének, másrészt hatékonyabb algoritmusok kidolgozásának köszönhető.[7]

A Catalan-állandó ismert tizedesjegyeinek száma:

A Catalan-állandó ismert tizedesjegyei:
Dátum Tizedesjegyek A számítást végezte:
1832 16 Thomas Clausen
1858 19 Carl Johan Danielsson Hill
1864 14 Eugène Charles Catalan
1877 20 James W. L. Glaisher
1913 32 James W. L. Glaisher
1990 20 000 Greg J. Fee
1996 50 000 Greg J. Fee
1996. aug. 14. 100 000 Greg J. Fee & Simon Plouffe
1996. szept. 29. 300 000 Thomas Papanikolaou
1996 1 500 000 Thomas Papanikolaou
1997 3 379 957 Patrick Demichel
1998. jan. 4. 12 500 000 Xavier Gourdon
2001 100 000 500 Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2002 201 000 000 Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2006. okt. 5 000 000 000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[8]
2008. aug. 10 000 000 000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[9]
2009. jan. 31. 15 510 000 000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[10]
2009. ápr. 16. 31 026 000 000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[10]

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • E.A. Karatsuba: Fast evaluation of transcendental functions. (hely nélkül): , Probl. Inf. Transm. Vol.27, No.4. 1991.  
  • Bradley, David M: A class of series acceleration formulae for Catalan's constant". (hely nélkül): The Ramanujan Journal 3 (2). 1999.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. http://www.gutenberg.org/etext/812
  2. http://www.hiradastechnika.hu/data/upload/file/1974/06/1974_06_06.PDF
  3. D.J. Broadhurst, "Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)", (1998) arXiv math.CA/9803067
  4. B.C. Berndt, Ramanujan's Notebook, Part I., Springer Verlag (1985)
  5. E.A. Karatsuba, Fast evaluation of transcendental functions, Probl. Inf. Transm. Vol.27, No.4, pp.339-360 (1991)
  6. E.A. Karatsuba, Fast computation of some special integrals of mathematical physics. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W.Krämer, J.W.von Gudenberg, eds.; pp. 29-41, (2001)
  7. Gourdon, X., Sebah, P; Constants and Records of Computation
  8. Shigeru Kondo's website
  9. Constants and Records of Computation
  10. ^ a b Large Computations