Gamma-függvény

A Γ-függény (gamma-függvény) a következő képlettel definiált komplex változós függvény:

$\Gamma (s) := \int_0^\infty t^{s-1}e^{-t} \ dt.$

Mivel az $e^{-t}$ nagyon gyorsan 0-hoz tart, az integrál minden valós s > 0-ra sőt minden pozitív valós részű komplex s esetén létezik. Parciális integrálással adódik, hogy ha s valós része 1-nél nagyobb, akkor

$\Gamma (s)=(s-1)\Gamma (s-1) \,$

is teljesül. Emiatt a tulajdonsága miatt teljesül rá hogy ha n pozitív egész, akkor Γ(n) = (n – 1)! azaz a gamma-függvény tekinthető a faktoriális művelet általánosításának -1 feletti valós számokra.

A gamma-függvényt gyakran alkalmazzák a valószínűség-számítás területén, az analitikus számelméletben, s a Taylor-sorok elméletében és gyakorlatában is igen hasznos könnyítéseket lehet vele tenni. A gamma-függvény segítségével definiálható a béta-függvény és számos fontos valószínűség-eloszlás, például a gamma-eloszlás, a χ²-eloszlás, a Student-eloszlás (t-eloszlás) és az F-eloszlás.

Tulajdonságai

• A Gauss-féle definíció:

$\Gamma(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}$

• A Weierstrass-féle szorzatalak:

$\frac{1}{\Gamma(x)}=xe^{\gamma x}\prod^{\infty}_{n=1}\left(1+\frac{x}{n}\right)e^{-\frac{x}{n}},$

ahol γ az Euler-állandó.

• A Gauss-féle sokszorozási formula:

$n^{nx-1}\Gamma(x)\Gamma\left(x+\frac{1}{n}\right)\cdots\Gamma\left(x+\frac{n-1}{n}\right)=\frac{(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}}{\sqrt{n}}\Gamma(nx)$

• Ha x nem egész szám, akkor

$\Gamma (x)\cdot\Gamma (1-x)=\frac{\pi}{\sin\pi x}$

Speciálisan $\Gamma (1/2)=\sqrt\pi$.

• A gamma-függvény az egyetlen, az egész komplex síkon értelmezett meromorf f(s) függvény, ami egyszerre elégíti ki az alábbi két feltételt.

$(1)\quad f(s+1)=sf(s)$

$(2) \quad f(1)=1$

• Hölder tétele: a $\Gamma$-függvény nem megoldása semmilyen algebrai differenciálegyenletnek, ahol az együtthatók racionális törtfüggvények.

Aszimptotikák

A gamma függvényt nagy $z$ értékekre a Stirling-formula segítségével közelíthetjük meg:

$\Gamma \left( z \right) = z^{z - \frac{1}{2}} e^{ - z} \sqrt {2\pi } \left( {1 + \mathcal{O}\left( {\frac{1}{z}} \right)} \right),$

illetve

$\Gamma \left( z \right) \sim z^{z - \frac{1}{2}} e^{ - z} \sqrt {2\pi } \left( {1 + \frac{1}{{12}}z^{ - 1} + \frac{1}{{288}}z^{ - 2} - \frac{{139}}{{51840}}z^{ - 3} - \ldots} \right).$

Logaritmusának aszimptotikus hatványsora:

$\ln \Gamma \left( z \right) \sim \left( {z - \frac{1}{2}} \right)\ln z - z + \frac{1}{2}\ln 2\pi + \frac{1}{{12z}} - \frac{1}{{360z^3 }} + \frac{1}{{1260z^5 }} - \ldots \, .$

Hányados aszimptotikus előállítása:

$\frac{{\Gamma \left( {x + a} \right)}}{{\Gamma \left( {x + b} \right)}} \sim x^{a - b} \left( {1 + \frac{1}{{2x}}\left( {a - b} \right)\left( {a + b - 1} \right) + \frac{1}{{24x^2 }}\left( {a - b} \right)\left( {a - b - 1} \right)\left( {3\left( {a + b - 1} \right)^2 - a + b - 1} \right) + \ldots} \right).$

Lásd még

• Spouge-formula

Források

• Fazekas F. – Frey T. (1965): Operátorszámítás, speciális függvények. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.

További információk

• (angolul) Weisstein, Eric W. "Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html

Faktoriális algoritmusok

• Faktoriális algoritmusok

Faktoriális közelítései

• Közelítő képletek

Számológépek a faktoriálishoz

• Számológépek a faktoriálishoz