Béta-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A béta-függvény a következő képlettel definiált kétváltozós valós függvény:


B : \bold R_+^2 \rightarrow \bold R,
\quad \quad
B (\alpha ,\beta) 
:=
\int_0^1
x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}
\ dx.

A béta-függvényt leggyakrabban a valószínűség-számítás területén alkalmazzák, bár a paraméteres integrálok számításánál és egyszerűsítésénél is igen hasznos. A béta-függvény segítségével definiálható a béta-eloszlás.

Megjegyzések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Megmutatható, hogy

B (\alpha ,\beta)
=
\frac
{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)}
{\Gamma(\alpha+\beta)}
\,
ahol Γ a gamma-függvényt jelöli.
  • Megmutatható, hogy a béta-függvény (komplex változós és komplex értékű változata) az egyetlen meromorf függvény, ami mindenütt kielégíti az alábbi három feltételt.

(1)\quad B(z,w)=B(w,z)

(2) \quad B(z,w+1)
=
\frac{w}{z+w}
B(z,w)

(3)\quad B(1,1)=1

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Fazekas F. – Frey T. (1965): Operátorszámítás, speciális függvények. Tankönyvkiadó, Budapest.
  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.