Béta-függvény

A béta-függvény a következő képlettel definiált kétváltozós valós függvény:

$B : \bold R_+^2 \rightarrow \bold R, \quad \quad B (\alpha ,\beta) := \int_0^1 x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \ dx.$

A béta-függvényt leggyakrabban a valószínűség-számítás területén alkalmazzák, bár a paraméteres integrálok számításánál és egyszerűsítésénél is igen hasznos. A béta-függvény segítségével definiálható a béta-eloszlás.

Megjegyzések

• Megmutatható, hogy

$B (\alpha ,\beta) = \frac {\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} {\Gamma(\alpha+\beta)} \,$

ahol Γ a gamma-függvényt jelöli.

• Megmutatható, hogy a béta-függvény (komplex változós és komplex értékű változata) az egyetlen meromorf függvény, ami mindenütt kielégíti az alábbi három feltételt.

$(1)\quad B(z,w)=B(w,z)$

$(2) \quad B(z,w+1) = \frac{w}{z+w} B(z,w)$

$(3)\quad B(1,1)=1$

Források

• Fazekas F. – Frey T. (1965): Operátorszámítás, speciális függvények. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.