Béta-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az X valószínűségi változó α és β paraméterű béta-eloszlást követ – vagy rövidebben béta-eloszlású – pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye


f(x)
=
\frac{1}{B(\alpha, \beta)}
x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}
=
\frac
 {\Gamma(\alpha + \beta)}
 {\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}
x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}
,
\quad
x\in [0,1]
,\quad

és f(x) = 0 egyébként. A képletben Γ(x) a gamma-függvény, B(α, β) a béta-függvény valamint α és β pozitív.

Speciálisan, ha α = 1 és β = 1, akkor X a [0,1] intervallumon vett egyenletes eloszlást követ.

A gamma-eloszlást jellemző függvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Eloszlásfüggvénye

Karakterisztikus függvénye

A béta-eloszlást jellemző számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Várható értéke


\bold E (X)=\frac{\alpha}{\alpha + \beta}

Szórása


\bold D (X)
=
\frac{1}{\alpha + \beta}
\sqrt
{\frac
 {\alpha \beta}
 {(\alpha + \beta +1)}
}

Momentumai


\bold E (X^k)
=
\frac
 {\Gamma(\alpha + k) \Gamma(\alpha + \beta)}
 {\Gamma(\alpha) \Gamma(\alpha + \beta +k)}

Ferdesége

Lapultsága

Béta-eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Az α és β paraméterek szerepének felcserélésével a sűrűségfüggvény az x = 1/2 egyenesre tükröződik.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
  • Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.