Gamma-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az X valószínűségi változó p-edrendű λ paraméterű gamma-eloszlást követ – vagy rövidebben gamma-eloszlású – pontosan, ha sűrűségfüggvénye


f(x)
=
\frac
 {\lambda^p x^{p-1}e^{-\lambda x}}
 {\Gamma(p)},

ahol Γ(p) a gamma-függvény, λ és p pedig pozitív.

Speciálisan, ha p = n/2 és λ = 1/2, akkor X-et n szabadsági fokú χ2-eloszlásúnak nevezzük, valamint az elsőrendű (p = 1) λ paraméterű gamma-eloszlás azonos a λ paraméterű exponenciális eloszlással.

A gamma-eloszlást jellemző függvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Eloszlásfüggvénye

Karakterisztikus függvénye


\varphi (t)
=
\left(
1-\frac{it}{\lambda}
\right)^{-p}

A gamma-eloszlást jellemző számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Várható értéke


\bold E (X)=\frac{p}{\lambda}

Szórása


\bold D (X)=\frac{\sqrt p}{\lambda}

Momentumai


\bold E (X^k)
=
\frac{\Gamma(p+k)}{\Gamma(p)\lambda^k}

Ferdesége


\beta_1(X)=\frac{2}{\sqrt p}
\,

Lapultsága


\beta_2(X)=\frac{6}{p}
\,

Gamma-eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Gamma-eloszlású független valószínűségi változók összege is gamma-eloszlású. Pontosabban ha X1 p1-edrendű és X2 p2-edrendű gamma-eloszlású független valószínűségi változók λ paraméterrel, akkor X1 + X2 p1 + p2-edrendű gamma-eloszlású valószínűségi változó λ paraméterrel.
  • Exponenciális eloszlású független valószínűségi változók összege gamma-eloszlású. Pontosabban ha X1, X2, … Xn független, λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók, akkor X1 + X2 + … + Xn n rendű, λ paraméterű Γ-eloszlású valószínűségi változó.

Megjegyzés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Szokták a gamma-eloszlást Γ-eloszlásnak is írni.

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
  • Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.
  • Arató M. (2001): Nem-élet biztosítás matematika. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest.