Gamma-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Az X valószínűségi változó p-edrendű λ paraméterű gamma-eloszlást követ – vagy rövidebben gamma-eloszlású – pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye

f(x) = \frac {\lambda^p x^{p-1}e^{-\lambda x}} {\Gamma(p)} ,

ahol Γ(p) a gamma-függvény, λ és p pedig pozitív.

Speciálisan,
ha p = n/2 és λ = 1/2, akkor X-et n szabadsági fokú χ2-eloszlásúnak nevezzük, valamint
az elsőrendű (p = 1) λ paraméterű gamma-eloszlás azonos a λ paraméterű exponenciális eloszlással.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] A gamma-eloszlást jellemző függvények

Eloszlásfüggvénye

Karakterisztikus függvénye

\varphi (t) = \left( 1-\frac{it}{\lambda} \right)^{-p}

[szerkesztés] A gamma-eloszlást jellemző számok

Várható értéke

\bold E (X)=\frac{p}{\lambda}

Szórása

\bold D (X)=\frac{\sqrt p}{\lambda}

Momentumai

\bold E (X^k) = \frac{\Gamma(p+k)}{\Gamma(p)\lambda^k}

Ferdesége

\beta_1(X)=\frac{2}{\sqrt p} \,

Lapultsága

\beta_2(X)=\frac{6}{p} \,

[szerkesztés] Gamma-eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága

  • Gamma-eloszlású független valószínűségi változók összege is gamma-eloszlású. Pontosabban ha X1 p1-edrendű és X2 p2-edrendű gamma-eloszlású független valószínűségi változók λ paraméterrel, akkor X1 + X2 p1 + p2-edrendű gamma-eloszlású valószínűségi változó λ paraméterrel.
  • Exponenciális eloszlású független valószínűségi változók összege gamma-eloszlású. Pontosabban ha X1, X2, … Xn független, λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók, akkor X1 + X2 + … + Xn n rendű, λ paraméterű Γ-eloszlású valószínűségi változó.

[szerkesztés] Megjegyzés

Szokták a gamma-eloszlást Γ-eloszlásnak is írni.

[szerkesztés] Forrás

  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
  • Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.
  • Arató M. (2001): Nem-élet biztosítás matematika. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest.
A lap eredeti címe: „http://hu.wikipedia.org/wiki/Gamma-eloszl%C3%A1s”