F-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valószínűség-számítás elméletében és a statisztika területén az F-eloszlás egy folytonos valószínűség eloszlás.

Az F-eloszlást a teszt-statisztika területén használják, leggyakrabban a szórásnégyzet analízisnél (lásd még: F-teszt)

Az F-eloszlás nem összekeverendő az F-statisztikával, melyet a népesség genetikában használnak. [1][2][3][4] Az F-eloszlás úgy is ismert, mint Snedecor-féle F-eloszlás, vagy Fisher–Snedecor eloszlás. [5]

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Sűrűségfüggvény
Kumulatív eloszlásfüggvény

Ha X valószínűségi változó F-eloszlású d_1 és d_2 paraméterekkel, akkor írhatjuk X\sim\operatorname{F}(d_1,d_2). X valószínűség sűrűségfüggvénye:

 \begin{align} f(x; d_1,d_2) &= \frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}}
{(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}}
{x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \\

&=\frac{1}{\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}
\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{\frac{d_1}{2}}
x^{\frac{d_1}{2} - 1}
\left(1+\frac{d_1}{d_2}\,x\right)^{-\frac{d_1+d_2}{2}}
\! \end{align}

valós x \ge 0 esetekre. Itt a \mathrm{B}, a béta-függvény. A legtöbb alkalmazásban a d_1 és d_2 pozitív egész. A kumulatív eloszlásfüggvény:

F(x; d_1,d_2)=I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2) ,

ahol I a szabályozott inkomplett béta-függvény. A lapultság:

\gamma_2 = 12\frac{d_1(5d_2-22)(d_1+d_2-2)+(d_2-4)(d_2-2)^2}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)}.

Egy \operatorname{F}(d_1,d_2) k-ik momentuma létezik, és csak akkor véges, ha 2k<d_2, és egyenlő: [6]: \mu _{X}\left( k\right) =\left( \frac{d_{2}}{d_{1}}\right) ^{k}\frac{\Gamma
\left( d_{1}/2+k\right) }{\Gamma \left( d_{1}/2\right) }\frac{\Gamma \left(
d_{2}/2-k\right) }{\Gamma \left( d_{2}/2\right) }

Az F-eloszlás az Elsődleges béta-eloszlás partikuláris parametrizálása, melyet másodfajú béta-eloszlásnak is hívnak.

Karakterisztikus függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A karakterisztikus függvény [7]:

\varphi^F_{d_1, d_2}(s) = \frac{\Gamma((d_1+d_2)/2)}{\Gamma(d_2/2)} U(d_1/2,1-d_2/2,-d_2 /d_1 \imath s)

ahol U(a, b, z) a másodfajú hipergeometrikus-függvény.

Jellemzők[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy d1 és d2 paraméterekkel rendelkező F-eloszlású valószínűségi változó, két megfelelően skálázott khí-négyzet eloszlásból származtatható:

\frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}

ahol

Olyan esetekben, amikor az F-eloszlást használják, például, a szórásnégyzet analízisénél, U1 és U2 függetlensége demonstrálható, ha alkalmazzuk a Cochran-tételt.

Általánosítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az F-eloszlás általánosítása, a nemcentrális F-eloszlás.

Kapcsolódó eloszlások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ha p kvantilise \operatorname{Q}_X(p) X\sim \operatorname{F}(\nu_1,\nu_2) esetében, és 1-p kvantilise \operatorname{Q}_Y(1-p), akkor
\operatorname{Q}_X(p)=1/\operatorname{Q}_Y(1-p).

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz, N. Balakrishnan: Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27). (hely nélkül): Wiley. 1995. ISBN 0471584940  
  • Phillips, P. C. B: The true characteristic function of the F distribution. (hely nélkül): Biometrika. 1982. 261–264. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Johnson, Norman Lloyd, Samuel Kotz, N. Balakrishnan. Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27). Wiley (1995). ISBN 0-471-58494-0 
  2. Sablon:Abramowitz Stegun ref
  3. NIST (2006). Engineering Statistics Handbook - F Distribution
  4. Mood, Alexander, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes. Introduction to the Theory of Statistics (Third Edition, p. 246-249). McGraw-Hill (1974). ISBN 0-07-042864-6 
  5. http://www.statlect.com/F_distribution.htm
  6. The F distribution
  7. Phillips, P. C. B. (1982) "The true characteristic function of the F distribution," Biometrika, 69: 261-264 Sablon:Jstor