F-eloszlás

A valószínűség-számítás elméletében és a statisztika területén az F-eloszlás egy folytonos valószínűség eloszlás.

Az F-eloszlást a teszt-statisztika területén használják, leggyakrabban a szórásnégyzet analízisnél (lásd még: F-teszt)

Az F-eloszlás nem összekeverendő az F-statisztikával, melyet a népesség genetikában használnak. Az F-eloszlás úgy is ismert, mint Snedecor-féle F-eloszlás, vagy Fisher–Snedecor eloszlás.

Definíció

Sűrűségfüggvény

Kumulatív eloszlásfüggvény

Ha $X$ valószínűségi változó F-eloszlású $d_1$ és $d_2$ paraméterekkel, akkor írhatjuk $X\sim\operatorname{F}(d_1,d_2)$. $X$ valószínűség sűrűségfüggvénye:

$\begin{align} f(x; d_1,d_2) &= \frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}} {(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}} {x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \\ &=\frac{1}{\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{\frac{d_1}{2}} x^{\frac{d_1}{2} - 1} \left(1+\frac{d_1}{d_2}\,x\right)^{-\frac{d_1+d_2}{2}} \! \end{align}$

valós $x \ge 0$ esetekre. Itt a $\mathrm{B}$, a béta-függvény. A legtöbb alkalmazásban a $d_1$ és $d_2$ pozitív integer. A kumulatív eloszlásfüggvény:

$F(x; d_1,d_2)=I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2) ,$

ahol I a szabályozott inkomplett béta-függvény. A lapultság:

$\gamma_2 = 12\frac{d_1(5d_2-22)(d_1+d_2-2)+(d_2-4)(d_2-2)^2}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)}$.

Egy $\operatorname{F}(d_1,d_2)$ k-ik momentuma létezik, és csak akkor véges, ha $2k<d_2$, és egyenlő: : $\mu _{X}\left( k\right) =\left( \frac{d_{2}}{d_{1}}\right) ^{k}\frac{\Gamma \left( d_{1}/2+k\right) }{\Gamma \left( d_{1}/2\right) }\frac{\Gamma \left( d_{2}/2-k\right) }{\Gamma \left( d_{2}/2\right) }$

Az F-eloszlás az Elsődleges béta-eloszlás partikuláris parametrizálása, melyet másodfajú béta-eloszlásnak is hívnak.

Karakterisztikus függvény

A karakterisztikus függvény :

$\varphi^F_{d_1, d_2}(s) = \frac{\Gamma((d_1+d_2)/2)}{\Gamma(d_2/2)} U(d_1/2,1-d_2/2,-d_2 /d_1 \imath s)$

ahol: $U(a, b, z)$ a másodfajú hipergeometrikus-függvény

Jellemzők

Egy d₁ és d₂ paraméterekkel rendelkező F-eloszlású valószínűségi változó, két megfelelően skálázott khí-négyzet eloszlásból származtatható:

$\frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}$

ahol

• U₁ és U₂ khí-négyzet eloszlásúak, d₁ és d₂ szabadságfokokkal, és
• U₁ és U₂ függetlenek egymástól

Olyan esetekben, amikor az F-eloszlást használják, például, a szórásnégyzet analízisénél, U₁ és U₂ függetlensége demonstrálható, ha alkalmazzuk a Cochran-tételt.

Általánosítás

Az F-eloszlás általánosítása, a nemcentrális F-eloszlás.

Kapcsolódó eloszlások

• Ha $X \sim \chi^2_{\nu_1}$ és $Y \sim \chi^2_{\nu_2}$, függetlenek, akkor $\frac{X / \nu_1}{Y / \nu_2} \sim \mathrm{F}(\nu_1, \nu_2)$
• Ha $X \sim \operatorname{Beta}(\nu_1/2,\nu_2/2)$ (Béta-eloszlás), akkor $\frac{\nu_2 X}{\nu_1\left(1-X\right)} \sim \operatorname{F}(\nu_1,\nu_2)$
• Hasonlóan, ha $X \sim \operatorname{F}(\nu_1,\nu_2)$, akkor $\frac{\nu_1 X/\nu_2}{1+\nu_1 X/\nu_2} \sim \operatorname{Beta}(\nu_1/2,\nu_2/2)$.
• Ha $X \sim \mathrm{F}(\nu_1, \nu_2)$ akkor $Y = \lim_{\nu_2 \to \infty} \nu_1 X$ khÍ-négyzet eloszlás $\chi^2_{\nu_{1}}$
• $\operatorname{F}(\nu_1,\nu_2)$ ekvivalens a skálázott Hotelling T-négyzet eloszlással $\frac{\nu_2}{\nu_1(\nu_1+\nu_2-1)}\operatorname{T}^2(\nu_1,\nu_1+\nu_2-1)$.
• Ha $X \sim \operatorname{F}(\nu_1,\nu_2),$, akkor $\frac{1}{X} \sim F(\nu_2,\nu_1)$.
• Ha $X \sim \mathrm{t}(m)\,$ (Student t-eloszlás), akkor $X^{2} \sim \operatorname{F}(\nu_1 = 1, \nu_2 = m)$.
• Ha $X \sim \mathrm{t}(n)\,$ (Student t-eloszlás), akkor $X^{-2} \sim \operatorname{F}(\nu_1 = n, \nu_2 = 1)$.
• F-eloszlás a 6. típusú Pearson-eloszlás speciális esete.

• Ha $X \sim \operatorname{F}(n,m)$, akkor $\tfrac{\log{X}}{2} \sim \operatorname{FisherZ}(n,m)$ (Fisher z-eloszlás)
• A nemcentrális F-eloszlás egyszerüsíti az F-eloszlást, ha $\lambda = 0$
• A dupla nemcentrális F-eloszlás egyszerüsíti az F-eloszlást, ha $\lambda_1 = \lambda_2 = 0$

• Ha $p$ kvantilise $\operatorname{Q}_X(p)$ $X\sim \operatorname{F}(\nu_1,\nu_2)$ esetében, és $1-p$ kvantilise $\operatorname{Q}_Y(1-p)$, akkor

$\operatorname{Q}_X(p)=1/\operatorname{Q}_Y(1-p)$.

Irodalom

• Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz, N. Balakrishnan: Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27).. Wiley. 1995. ISBN 0-471-58494-0.
• Phillips, P. C. B: The true characteristic function of the F distribution,. Biometrika. 1982. 261-264. o. ISBN .

Kapcsolódó szócikkek

• Khí-négyzet eloszlás
• T-eloszlás
• Wishart-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűség-számítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika
• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Gamma-eloszlás
• Eloszlásfüggvény

Források

• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods oldala
• Adatok