Stirling-formula

A Stirling-formula a faktoriális függvény nagy értékeinek becslését segíti aszimptotika megadásával.

Eszerint

$n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$

ahol e a természetes logaritmus alapja a $\sim$ jel pedig azt jelenti, hogy a két oldal aszimptotikusan egyenlő.

A Stirling-formulának ott van nagy jelentősége, ahol sokszor kell nagy binomiális együtthatókra jó becsléseket adni, tehát a valószínűség-számításban, de a matematika szinte minden ágában felhasználják. A formula igaz a gamma-függvényre is:

$\Gamma \left( z \right) \sim \sqrt {\frac{{2\pi }}{z}} \left( {\frac{z}{e}} \right)^z,$

ha $z \to \infty$ és $\left| {\arg z} \right| < \pi$.

Története

James Stirling skót matematikus az 1730-as Methodus Differentialis című művében mutatta be a logaritmusfüggvénnyel kapcsolatos összegzési eredményeit. Állítása szerint a $\log 1 + \log 2 + \cdots + \log n = \log n!\,\!$ kifejezés értéke a következő sor első három vagy négy tagjának felhasználásával megkapható (ahol log a természetes logaritmus függvény):

$\left( {n + \frac{1}{2}} \right)\log \left( {n + \frac{1}{2}} \right) - \left( {n + \frac{1}{2}} \right) + \frac{1}{2}\log \left( {2\pi } \right) - \frac{1}{{24\left( {n + \frac{1}{2}} \right)}} + \frac{7}{{2880\left( {n + \frac{1}{2}} \right)^3 }} - \cdots$

A végtelen sor együtthatóira rekurziós összefüggést adott meg, de explicit képlettel nem rendelkezett. Az általános tag $k \ge 1$ esetén a kővetkező:

$\frac{{\left( {2^{1 - 2k} - 1} \right)B_{2k} }}{{2k\left( {2k - 1} \right)\left( {n + \frac{1}{2}} \right)^{2k - 1} }},$

ahol B_k a Bernoulli-féle számokat jelöli. Stirling eredményeit látva, Abraham de Moivre Miscellaneis Analyticis Supplementum című művében felfedezett egy egyszerűbb képletet:

$\left( {n + \frac{1}{2}} \right)\log n - n + \frac{1}{2}\log \left( {2\pi } \right) + \frac{1}{{12n}} - \frac{1}{{360n^3 }} + \cdots$

Ebben az esetben az általános tag

$\frac{{B_{2k} }}{{2k\left( {2k - 1} \right)n^{2k - 1} }}.$

A képletben látható $\frac{1}{2}\log \left( {2\pi } \right)$ tag a történet szerint Stirling érdeme volt, ezért az első összefüggéssel ellentétben De Moivre képlete vált ismerté Stirling-formula (vagy Stirling sor) néven.

Bizonyítás

De Moivre formuláját bizonyítjuk a gamma-függvényre. Euler képletéből indulunk ki:

$\Gamma \left( z \right) = \lim_{n\to\infty} \frac{{n!n^z }}{{z\left( {z + 1} \right) \cdots \left( {z + n - 1} \right)}}.$

A logaritmikus deriváltra áttérve (mindvégig feltesszük, hogy $\Re(z)>0$)

$\psi \left( z \right): = \frac{{\Gamma '\left( z \right)}}{{\Gamma \left( z \right)}} = \lim_{n\to\infty} \left( {\log n - \frac{1}{z} - \frac{1}{{z + 1}} - \cdots - \frac{1}{{z + n - 1}}} \right)$

$= \lim_{n\to\infty} \left( {\int_0^\infty {\frac{{e^{ - t} - e^{ - nt} }}{t}dt - \sum\limits_{r = 0}^{n - 1} {\int_0^\infty {e^{ - \left( {z + r} \right)t} dt} } } } \right)$

$= \lim_{n\to\infty} \left( {\int_0^\infty {\frac{{e^{ - t} - e^{ - nt} }}{t}dt - \int_0^\infty {\frac{{1 - e^{ - nt} }}{{1 - e^{ - t} }}e^{ - zt} dt} } } \right)$

$= \lim_{n\to\infty} \left( {\int_0^\infty {\frac{{e^{ - t} }}{t} - \frac{{e^{ - zt} }}{{1 - e^{ - t} }}dt - \int_0^\infty {\left( {\frac{1}{t} - \frac{{e^{ - zt} }}{{1 - e^{ - t} }}} \right)e^{ - nt} dt} } } \right)$

$= \int_0^\infty {\left( {\frac{{e^{ - t} }}{t} - \frac{{e^{ - zt} }}{{1 - e^{ - t} }}} \right)dt} = \int_0^\infty {\frac{{e^{ - t} - e^{ - zt} }}{t}dt} + \int_0^\infty {\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{1 - e^{ - t} }}} \right)e^{ - zt} dt}$

$= \log z + \int_0^\infty {\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{1 - e^{ - t} }}} \right)e^{ - zt} dt} .$

Az utolsó lépésben a zárójelben lévő függvény analítikus a 0 pontban és ott hatványsora a következő alakú:

$\frac{1}{t} - \frac{1}{{1 - e^{ - t} }} = - \frac{1}{2} - \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{B_{2k} }}{{\left( {2k} \right)!}}t^{2k - 1} },$

ahol B_k ismét a Bernoulli-féle számokat jelöli. Függvényünk pozitív $t$ esetén korlátos, ezért alkalmazható az aszimptotikus analízis egyik fontos állítása, a Watson-lemma, így

$\psi \left( z \right) \sim \log z - \frac{1}{{2z}} - \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{B_{2k} }}{{ {2k}}}} \frac{1}{{z^{2k} }},\;\left| z \right| \to \infty ,\;\left| {\arg z} \right| < \frac{\pi }{2}.$

Most mindkét oldalt integrálva

$\log \Gamma \left( z \right) \sim \left( {z - \frac{1}{2}} \right)\log z - z + C + \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{B_{2k} }}{{2k\left( {2k - 1} \right)z^{2k - 1} }}}$

adódik valamilyen $C\,\!$ konstans mellett. A konstans meghatározásához a kapott sort helyettesítsük Legendre duplikációs képletébe:

$\log \Gamma \left( z \right) + \log \Gamma \left( {z + \frac{1}{2}} \right) + \left( {2z - 1} \right)\log 2 = \log \Gamma \left( {2z} \right) + \frac{1}{2}\log \pi.$

Határértéket véve $C = \frac{1}{2}\log \left( {2\pi } \right)$-t fogunk kapni. A formulát itt csak $\left| {\arg z} \right| < \frac{\pi }{2}$ esetén bizonyítottuk, megjegyzendő azonban, hogy fennáll akkor is, ha $\left| {\arg z} \right| < \pi$.

Érdemes észrevenni, hogy ha a kapott erdményt ismét a Legendre-féle összefüggésbe helyettesítjük $\log \Gamma \left( {z + \frac{1}{2}} \right)$-t meghagyva, majd arra rendezve, $z=n+\frac{1}{2}$-et helyettesítve, végül felhasználva, hogy $\log \Gamma \left( {n + 1} \right) = \log n!$, éppen Stirling eredeti sorát kapjuk.

Konvergencia és exponenciális alak

A fentebb bizonyított aszimptotikus sor semmilyen $z\,\!$ esetén sem konvergens, ami a Bernoulli számok rohamos növekedéséből is jól látszik. Jó közelítést kaphatunk viszont, ha csak az első néhány tagot tartjuk meg. A hiba ilyenkor az első elhagyott tag abszolút értékével becsülhető.

A De Moivre-féle sor mindkét oldalának exponenciálissá tételével kapjuk a szintén Stirling-formula néven ismert formulát:

$\Gamma \left( z \right) \sim \left( {\frac{z}{e}} \right)^z \sqrt {\frac{{2\pi }}{z}} \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{\left( {2k + 1} \right)!!a_{2k + 1} }}{{z^k }}} = \left( {\frac{z}{e}} \right)^z \sqrt {\frac{{2\pi }}{z}} \left( {1 + \frac{1}{{12z}} + \frac{1}{{288z^2 }} - \cdots} \right),$

ahol $a_k\,\!$ az

$a_k = \frac{{a_{k - 1} }}{{k + 1}} - \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^{k - 1} {a_i a_{k + 1 - i} } ,\;a_1 = 1,\;a_2 = \frac{1}{3}$

rekurzióval számítható. Stirling eredeti sorára

$\Gamma \left( {z + \frac{1}{2}} \right) \sim \left( {\frac{z}{e}} \right)^z \sqrt {2\pi } \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{b_k }}{{z^k }}} = \left( {\frac{z}{e}} \right)^z \sqrt {2\pi } \left( {1 - \frac{1}{{24z}} + \frac{1}{{1152z^2 }} + \cdots} \right)$

adódik. Bevezetve a $c_k : = \left( {2k + 1} \right)!!a_{2k + 1}$ jelölést, Legendre duplikációs képletéből

$b_k = \frac{1}{{2^k }}\sum\limits_{i = 0}^k {\left( { - 1} \right)^i 2^i c_{k - i} c_i }.$

A Stirling formula konvergens változata

1763-ban Thomas Bayes John Cantonnak írt levelében bizonyította be, hogy a Stirling-sor nem ad konvergens sorfejtést a faktoriálisra.[1]

A Stirling-formula egy konvergens változatának meghatározásához a következő összefüggést alkalmazhatjuk:

$\int_0^\infty \frac{2\arctan \frac{t}{z}}{\exp(2 \pi t)-1}\, dt = \log\Gamma (z) - \left( z-\frac12 \right) \log z +z - \frac12\log(2\pi).$

Célba érünk, ha konvergens sor segítségével állítjuk elő az integrált. Ha $z^{\overline n} = z(z+1) \cdots (z+n-1)$, akkor

$\int_0^\infty \frac{2\arctan \frac{t}{z}}{\exp(2 \pi t)-1} \, dt = \sum_{n=1}^\infty \frac{c_n}{(z+1)^{\overline n}}$

ahol

$c_n = \frac{1}{n} \int_0^1 x^{\overline n} \left( x-\frac12 \right) \, dx = \frac{1}{{2n}}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{k\left| {s(n,k)} \right|}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}},$

ahol ${s\left( {n,k} \right)}$ az Elsőfajú Stirling-számokat jelöli. Ebből a Stirling-formula következő változatát nyerjük

$\log \Gamma (z) = \left( z-\frac12 \right) \log z -z + \frac{\log {2 \pi}}{2}$

${} + \frac{1}{12(z+1)} + \frac{1}{12(z+1)(z+2)} + \frac{59}{360(z+1)(z+2)(z+3)} + \frac{29}{60(z+1)(z+2)(z+3)(z+4)} + \cdots,$

ami konvergens, ha $\Re(z)>0$.

Zárt közelítések

Az alábbiakban néhány zárt közelítés látható, amelyek a "sima" Stirling-formulánál jobb becsléseket adnak.

Gosper [2]:

$n! \sim \left( {\frac{n}{e}} \right)^n \sqrt {2\pi \left( {n + \frac{1}{6}} \right)}$

Robert H. Windschitl [3]:

$n! \sim \left( {\frac{n}{e}\sqrt {n\sinh \frac{1}{n}} } \right)^n \sqrt {2\pi n}$

Nemes Gergő [4]:

$n! \sim \left( {\frac{n}{e}\left( {1 + \frac{1}{{15n^2 }}} \right)^{5/4} } \right)^n \sqrt {2\pi n}$

$n! \sim \left( {\frac{1}{e}\left( {n + \frac{1}{{12n - \frac{1}{{10n}}}}} \right)} \right)^n \sqrt {2\pi n}$

Ez utóbbi három formula jól alkalmazható programozható számológépekben a gamma-függvény értékeinek közelítésére.

A faktoriális logaritmusa

A relatív hiba (log x!) és (x log x – x) között x növekedtével 0-hoz tart.

A faktoriális logaritmusának közelítő értékét megadó képletet is Stirling-formulának nevezik, és a következőt mondja ki:

$\log n! \approx n \log n - n \,$

minden elég nagy természetes n számra, ahol log a természetes logaritmus függvény.

Lásd még

• Spouge-formula

Források

Faktoriális algoritmusok

• Faktoriális algoritmusok

Faktoriális közelítései

• Közelítő képletek

Számológépek a faktoriálishoz

• Számológépek a faktoriálishoz