Racionális törtfüggvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A racionális törtfüggvény a valós számok halmazának olyan önmagára való leképezése, amelyben a hozzárendelést két polinom hányadosával adjuk meg:

y = \frac{P_m(x)}{Q_n(x)}= \frac{a_m x^m + a_{m-1} x^{m-1} +...+ a_1x+ a_0}{b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} +...+ b_1x+ b_0} .

RacTort-1.jpg

A leképezés értelmezési tartománya azokból a valós számokból áll, amelyekre Q_n(x) nem nulla. (Értelemszerűen feltesszük, hogy Q_n(x) nem az azonosan nulla polinom.)

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mivel Q_n(x)-nek legfeljebb n nullhelye van, a függvény értelmezési tartománya legfeljebb n+1 nyílt intervallum uniója. Ezeken a nyílt intervallumokon a függvény folytonos és akárhányszor differenciálható. Az összefüggő zárt résztartományokon integrálható. A függvény grafikonja általában egy vagy több aszimptotával rendelkezik.

Fokszám, rendszám[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az m illetve n fokszámú polinomokkal definiált törtfüggvényeket (m/n)-edfokúnak nevezzük, s a grafikonjuk r rendszámát az egyenletük implicit alakjában szereplő legmagasabb fokszámmal adjuk meg:

\begin{cases} y.Q_n(x) = P_m(x) \\
y.a_m x^m+\dots = a_n x^n+\dots\end{cases}

\begin{cases} r=m+1,~(m+1\geq n)\\
r=n,~ (m+1 < n)\end{cases}

Fontosabb törtfüggvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Fordított arányosság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A görbe hiperbola (kúpszelet), explicit illetve implicit egyenlete:

y=\frac{a}{x}~;~xy=a

(Az ábrán a>0 együtthatójú görbe, aszimptotái a koordináta-rendszer tengelyei.)

RacTort-2.jpg

Lineáris törtfüggvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A függvény és grafikonja az egyenes arányosság transzformáltja.

Reciprok hatványfüggvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

RacTort-3.jpg

Pontosabban: negatív egész kitevőjű hatványfüggvény. Grafikonja hiperbolikus típusú görbe. Páros kitevő esetén a két ága az Y tengelyre, páratlan kitevő esetén az origóra szimmetrikus.

Reciprok polinomfüggvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az n-edfokú polinom reciprokaként megadott racionális törtfüggvény, melynek grafikonja a nevezőtől függően változatos alakú és számú nyílt görbeívből áll. A görbe rendszáma: r = n+1.

RacTort-4.jpg

Az ábrán az y=\frac{1}{ax^2+bx+c} explicit alakban adott harmadrendű görbe látható. (Ennek speciális esete az Agnesi-féle görbe)

Polinomok hányadosteste[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A racionális törtfüggvények szoros kapcsolatban állnak a polinomok gyűrűjének hányadostestével, de a két fogalom nem azonos. Például a

p(x)=\frac{x-1}{x^2-1}

és a

q(x)=\frac{1}{x+1}

kifejezések mint a valós együtthatós polinomok hányadostestének elemei egyenlőek, mivel ott x^2-1 osztható x-1-gyel, és a hányados x+1. De ha p(x)-et és q(x)-et mint racionális törtfüggvényeket tekintjük, akkor nem egyenlőek, hiszen q(x) értelmezhető az x=1 helyen, p(x) viszont nem.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Bronstein – Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
Dr. Hack & all.: Négyjegyű függvénytáblázatok,…(Nemzeti Tankönyvkiadó, 2004) ISBN 978-963-19-5703-7
Reiman István: Matematika (Műszaki Könyvkiadó, 1992)
Reinhardt, F. – Soeder, H.: SH atlasz-Matematika (Springer-Verlag, 1993)
Sain Márton: Matematikatörténeti ABC (Nemzeti Tankönyvkiadó - Typotex, 1993)
Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei (Közoktatásügyi Kiadóvállalat, 1951)
Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.