Racionális törtfüggvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A racionális törtfüggvény a valós számok halmazának olyan önmagára való leképezése, amelyben a hozzárendelést két polinom hányadosával adjuk meg:

.

A leképezés értelmezési tartománya azokból a valós számokból áll, amelyekre Q_n(x) nem nulla. (Értelemszerűen feltesszük, hogy Q_n(x) nem az azonosan nulla polinom.)

Tartalomjegyzék 1 Tulajdonságai 2 Fokszám, rendszám 3 Fontosabb törtfüggvények 3.1 Fordított arányosság 3.2 Lineáris törtfüggvény 3.3 Reciprok hatványfüggvény 3.4 Reciprok polinomfüggvény 4 Polinomok hányadosteste 5 Irodalom

[szerkesztés] Tulajdonságai

Mivel Q_n(x)-nek legfeljebb n nullhelye van, a függvény értelmezési tartománya legfeljebb n+1 nyílt intervallum uniója. Ezeken a nyílt intervallumokon a függvény folytonos és akárhányszor differenciálható. Az összefüggő zárt résztartományokon integrálható. A függvény grafikonja általában egy vagy több aszimptotával rendelkezik.

[szerkesztés] Fokszám, rendszám

Az m illetve n fokszámú polinomokkal definiált törtfüggvényeket (m/n)-edfokúnak nevezzük, s a grafikonjuk r rendszámát az egyenletük implicit alakjában szereplő legmagasabb fokszámmal adjuk meg:

[szerkesztés] Fontosabb törtfüggvények

[szerkesztés] Fordított arányosság

A görbe hiperbola (kúpszelet), explicit illetve implicit egyenlete:

(Az ábrán a > 0 együtthatójú görbe, aszimptotái a koordináta-rendszer tengelyei.)

[szerkesztés] Lineáris törtfüggvény

A függvény és grafikonja az egyenes arányosság transzformáltja.

[szerkesztés] Reciprok hatványfüggvény

Pontosabban: negatív egész kitevőjű hatványfüggvény. Grafikonja hiperbolikus típusú görbe. Páros kitevő esetén a két ága az Y tengelyre, páratlan kitevő esetén az origóra szimmetrikus.

[szerkesztés] Reciprok polinomfüggvény

Az n-edfokú polinom reciprokaként megadott racionális törtfüggvény, melynek grafikonja a nevezőtől függően változatos alakú és számú nyílt görbeívből áll. A görbe rendszáma: r = n+1.

Az ábrán az explicit alakban adott harmadrendű görbe látható. (Ennek speciális esete az Agnesi-féle görbe)

[szerkesztés] Polinomok hányadosteste

A racionális törtfüggvények szoros kapcsolatban állnak a polinomok gyűrűjének hányadostestével, de a két fogalom nem azonos. Például a

és a

kifejezések mint a valós együtthatós polinomok hányadostestének elemei egyenlőek, mivel ott x² − 1 osztható x − 1-gyel, és a hányados x + 1. De ha p(x)-et és q(x)-et mint racionális törtfüggvényeket tekintjük, akkor nem egyenlőek, hiszen q(x) értelemzhető az x = 1 helyen, p(x) viszont nem.

[szerkesztés] Irodalom

Bronstein – Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091

Dr. Hack & all.: Négyjegyű függvénytáblázatok,…(Nemzeti Tankönyvkiadó, 2004) ISBN 978-963-19-5703-7

Reiman István: Matematika (Műszaki Könyvkiadó, 1992)

Reinhardt, F. – Soeder, H.: SH atlasz-Matematika (Springer-Verlag, 1993)

Sain Márton: Matematikatörténeti ABC (Nemzeti Tankönyvkiadó - Typotex, 1993)

Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei (Közoktatásügyi Kiadóvállalat, 1951)

Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.