Racionális törtfüggvény

A racionális törtfüggvény a valós számok halmazának olyan önmagára való leképezése, amelyben a hozzárendelést két polinom hányadosával adjuk meg:

$y = \frac{P_m(x)}{Q_n(x)}= \frac{a_m x^m + a_{m-1} x^{m-1} +...+ a_1x+ a_0}{b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} +...+ b_1x+ b_0}$ .

A leképezés értelmezési tartománya azokból a valós számokból áll, amelyekre $Q_n(x)$ nem nulla. (Értelemszerűen feltesszük, hogy $Q_n(x)$ nem az azonosan nulla polinom.)

Tulajdonságai[szerkesztés]

Mivel $Q_n(x)$ -nek legfeljebb n nullhelye van, a függvény értelmezési tartománya legfeljebb n+1 nyílt intervallum uniója. Ezeken a nyílt intervallumokon a függvény folytonos és akárhányszor differenciálható. Az összefüggő zárt résztartományokon integrálható. A függvény grafikonja általában egy vagy több aszimptotával rendelkezik.

Fokszám, rendszám[szerkesztés]

Az m illetve n fokszámú polinomokkal definiált törtfüggvényeket (m/n)-edfokúnak nevezzük, s a grafikonjuk r rendszámát az egyenletük implicit alakjában szereplő legmagasabb fokszámmal adjuk meg:

$\begin{cases} y.Q_n(x) = P_m(x) \\ y.a_m x^m+\dots = a_n x^n+\dots\end{cases}$

$\begin{cases} r=m+1,~(m+1\geq n)\\ r=n,~ (m+1 < n)\end{cases}$

Fontosabb törtfüggvények[szerkesztés]

Fordított arányosság[szerkesztés]

A görbe hiperbola (kúpszelet), explicit illetve implicit egyenlete:

$y=\frac{a}{x}~;~xy=a$

(Az ábrán $a>0$ együtthatójú görbe, aszimptotái a koordináta-rendszer tengelyei.)

Lineáris törtfüggvény[szerkesztés]

A függvény és grafikonja az egyenes arányosság transzformáltja.

Reciprok hatványfüggvény[szerkesztés]

Pontosabban: negatív egész kitevőjű hatványfüggvény. Grafikonja hiperbolikus típusú görbe. Páros kitevő esetén a két ága az Y tengelyre, páratlan kitevő esetén az origóra szimmetrikus.

Reciprok polinomfüggvény[szerkesztés]

Az n-edfokú polinom reciprokaként megadott racionális törtfüggvény, melynek grafikonja a nevezőtől függően változatos alakú és számú nyílt görbeívből áll. A görbe rendszáma: r = n+1.

Az ábrán az $y=\frac{1}{ax^2+bx+c}$ explicit alakban adott harmadrendű görbe látható. (Ennek speciális esete az Agnesi-féle görbe)

Polinomok hányadosteste[szerkesztés]

A racionális törtfüggvények szoros kapcsolatban állnak a polinomok gyűrűjének hányadostestével, de a két fogalom nem azonos. Például a

$p(x)=\frac{x-1}{x^2-1}$

és a

$q(x)=\frac{1}{x+1}$

kifejezések mint a valós együtthatós polinomok hányadostestének elemei egyenlőek, mivel ott $x^2-1$ osztható $x-1$ -gyel, és a hányados $x+1$ . De ha $p(x)$ -et és $q(x)$ -et mint racionális törtfüggvényeket tekintjük, akkor nem egyenlőek, hiszen $q(x)$ értelemzhető az $x=1$ helyen, $p(x)$ viszont nem.