Khí-négyzet eloszlás

A valószínűség-számítás elméletében, és a statisztika területén, a k szabadságfokú khí-négyzet eloszlás (más neveken: khi-négyzet, Khi2) k szabadságfokú független normális eloszlás valószínűségi változóinak a négyzete.

Ez az eloszlás a széles körben használatos a valószínűség-eloszlások között, a statisztikai területén, például a hipotézisek ellenőrzésekor, vagy egy konfidencia-intervallum létrehozásakor.

Ha szükséges a khí-négyzet eloszlást megkülönböztetni a nem-centrális khí-négyzet eloszlástól, akkor szokták néha ‘centrális khí-négyzet eloszlás’nak is nevezni.

A khí-négyzet eloszlást statisztikák ellenőrzésére használják, az elméleti és a megfigyelt értékek kiértékelésénél, összehasonlításánál. A khí-négyzet eloszlás, a gamma-eloszlás egy speciális esete.

Definíció

Ha Z₁, ..., Z_k független, normális eloszlású valószínűségi változók, , akkor a négyzeteik összege,

$Q\ = \sum_{i=1}^k Z_i^2 ,$

a khí-négyzet eloszlás szerint oszlik el, k szabadságfokkal. Ezt a következőképpen is jelölik:

$Q\ \sim\ \chi^2(k)\ \ \text{or}\ \ Q\ \sim\ \chi^2_k .$

A khi-négyzet eloszlásnak egy paramétere van, a k, egy pozitív integer, mely a szabadságfok mértéke.

Valószínűség sűrűségfüggvény

Valószínűség sűrűségfüggvény

A khí-négyzet eloszlás valószínűség sűrűségfüggvénye:

$f(x;\,k) = \begin{cases} \frac{x^{(k/2)-1} e^{-x/2}}{2^{k/2} \Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}, & x \geq 0; \\ 0, & \text{más esetben}. \end{cases}$

ahol Γ(k/2) a gamma-eloszlást jelöli A sűrűségfüggvényének deriválását a khi-négyzet eloszlás valószínűség sűrűségfüggvényének deriválása szócikk tárgyalja.

Kumulatív eloszlás függvény

A kumulatív eloszlás függvény:

$F(x;\,k) = \frac{\gamma(\frac{k}{2},\,\frac{x}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})} = P\left(\frac{k}{2},\,\frac{x}{2}\right),$

Ahol γ(k,z) az inkomplett gamma-függvény, és a P(k,z) a rendezett gamma-függvény . Abban a speciális esetben, amikor k=2, léteik egy egyszerű képlet:

$F(x;\,2) = 1 - e^{-\frac{x}{2}}.$

Ennek az eloszlásnak a táblázatai – rendszerint kumulatív formában – számos helyen megtalálhatók, általában statisztikai csomagokban. Egy zárt formájú közelítés található a nem-centrális khí-négyzet eloszlásnál.

Additivitás

A khí-négyzet eloszlás definíciója szerint a független khí-négyzet változók összege is khí-négyzet eloszlású. Speciálisan, ha {X_i}_i=1ⁿ független khí-négyzet eloszlású változók {k_i}_i=1ⁿ szabadságfokkal, akkor Y = X₁ + ⋯ + X_n is khí-négyzet eloszlásúak k₁ + ⋯ + k_n szabadságfokkal.

Információ entrópiája

Az információ entrópiája:

$H = \int_{-\infty}^\infty f(x;\,k)\ln f(x;\,k) \, dx = \frac{k}{2} + \ln\left(2\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)\right) + \left(1-\frac{k}{2}\right) \psi\left(\frac{k}{2}\right),$

ahol ψ(x) a Digamma-függvény. A khí-négyzet eloszlás az X valószínűségi változó maximális entrópiájú valószínűség eloszlása, ahol $E(X)=\nu$ rögzített, és $E(\ln(X))=\psi\left(\frac{1}{2}\right)+\ln(2)$ is rögzített.

Nem centrális momentumok

A k szabadságfokú khí-négyzet eloszlás zéró körüli momentumai:

$\operatorname{E}(X^m) = k (k+2) (k+4) \cdots (k+2m-2) = 2^m \frac{\Gamma(m+\frac{k}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})}.$

Kumulánsok

A kumulánsok a karakterisztikus függvény logaritmusának egy hatvány sor kiterjesztésével kaphatók:

$\kappa_n = 2^{n-1}(n-1)!\,k$

Aszimptotikus tulajdonságok

A centrális határeloszlás tételéből következően, mivel a khi-négyzet eloszlás független k szabadságfokú valószínűségi változók szummája, véges átlaggal és szórásnégyzettel, konvergál a normális eloszláshoz nagy k értékeknél.

Praktikus okok miatt, k > 50 esetben az eloszlás elég közel áll a normális eloszláshoz, hogy a különbség elhanyagolható lehessen.

Ha X ~ χ²(k), akkor k tart a végtelenhez, a $(X-k)/\sqrt{2k}$ eloszlás pedig a normális eloszlás felé tart. Azonban ez a konvergencia lassú, mivel a ferdeség $\sqrt{8/k}$, és az eloszlásgörbe meredeksége 12/k. A khí-négyzet eloszlás más függvényei jóval gyorsabban konvergálnak a normális eloszláshoz. Néhány példa:

• Ha X ~ χ²(k), akkor $\scriptstyle\sqrt{2X}$ közel normálisan eloszlású, $\scriptstyle\sqrt{2k-1}$ középértékkel.
• Ha X ~ χ²(k), akkor $\scriptstyle\sqrt[3]{X/k}$ közel normálisan eloszlású $\scriptstyle 1-2/(9k)$ középértékkel, és $\scriptstyle 2/(9k) .$ szórásnégyzettel Ezt Wilson-Hilferty transzformációnak hívják.

Kapcsolódó eloszlások

• $\lim_{k \to \infty}\tfrac{\chi^2_k(x)-\mu_k}{\sigma_k} \xrightarrow{d}\ N(0,1) \,$ (normális eloszlás)
• $\chi_k^2 \sim {\chi'}^2_k(0)$ (Nem-centrális khi-négyzet eloszlás nem-centralitás paraméterrel $\lambda = 0$)
• Khí-négyzet eloszlás, a Pareto-eloszlás egy transzformációja
• A T-eloszlás, a khí-négyzet eloszlás egy transzformációja
• A T-eloszlás származtatható a khi-négyzet eloszlásból, és a normális eloszlásból
• Nem-centrális T-eloszlás származtatható a khí-négyzet eloszlásból, és a normális eloszlásból

Statisztikailag független egységnyi szórásnégyzetes Gauss-eloszlású változók négyzeteinek szummája, melynek nincs zéró középértéke, a khí-négyzet eloszlás általánosításához vezet, és nem-centrális khi-négyzet eloszlásnak hívják. A khí-négyzet eloszlás természetesen kapcsolódik más eloszlásokhoz, melyeknek a Gauss-eloszláshoz van közük. Például:

• Y F-eloszlású, Y ~ F(k₁,k₂) ha $\scriptstyle Y = \frac{X_1 / k_1}{X_2 / k_2}$ ahol X₁ ~ χ²(k₁), és X₂  ~ χ²(k₂) statisztikailag független.

• If X khí-négyzet eloszlású, akkor $\scriptstyle\sqrt{X}$ khí-eloszlású.
• Ha X₁  ~  χ²_k1 és X₂  ~  χ²_k2 statisztikailag független, akkor X₁ + X₂  ~ χ²_k1+k2. Ha X₁ and X₂ nem függtelenek, akkor X₁ + X₂ nem khi –eloszlású.

Általánosítás

A khí-négyzet eloszlást a Gaussi k, független, zéró középértékű, egységnyi szórásnégyzetű valószínűségi változók négyzeteinek szummájával kapjuk. Ennek az eloszlásnak az általánosítását úgy kaphatjuk, ha összegezzük más típusú Gaussi valószínűségi változók négyzeteit. A következőkben bemutatunk néhány ilyen eloszlást.

Khí-négyzet eloszlások

Nem-centrális Khí-négyzet eloszlás

A nem-centrális Khí-négyzet eloszlást a független gaussi valószínűségi változók négyzeteinek szummájával kapjuk, melyek egység szórásnégyzettel , és nem zéró középértékkel rendelkeznek.

Általánosított khí-négyzet eloszlás

Az általánosított khí-négyzet eloszlást a z′Az kvadratikus képletéből kapjuk, ahol z, a zéró középértékű Gaussi vektor, tetszőleges kovariáns mátrixxal, és A, egy tetszőleges mátrix.

Gamma-, exponenciális-, és kapcsolódó eloszlások

A X ~ χ²(k) khí-négyzet eloszlás, a gamma-eloszlás egy speciális esete, X ~ Γ(k/2, 2), ahol k egy integer. Mivel az exponenciális eloszlás szintén a Gamma-eloszlás egy speciális esete, ezért X ~ χ²(2), és X ~ Exp(1/2) egy exponenciális eloszlás. Az Erlang-eloszlás szintén a Gamma-eloszlás egy speciális esete, ezért ha X ~ χ²(k) páros k-val, akkor X is Erlang-eloszlású k/2 alakparaméterrel, és ½ skálaparaméterrel.

Alkalmazások

A khí-négyzet eloszlásnak számos alkalmazása ismert a statisztikában, például a khí-négyzet teszt, vagy a szórásnégyzetek becslése. Felveti a normális eloszlás középérték becslésének a problémáját, és a regressziós vonal meredekségének a becslését, a T-eloszláson keresztül. A szórásnégyet analízis problémájában is van szerepe, az F-eloszlással kapcsolatban, mely két független khí-négyzet valószínűségi változó arányának az eloszlása, mindegyik osztva a megfelelő szabadságfokkal. A következő táblázat olyan eloszlásokat mutat be, melyek neve ‘khí’-vel kezdődik, valamilyen statisztikához kapcsolódik, a X_i ∼ Normal(μ_i, σ²_i), i = 1, ⋯, k, független valószínűségi változókra alapozva:

Név	Statisztika
Khí-négyzet eloszlás	$\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2$
Nem-centrális khí-négyzet eloszlás	$\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2$
Khí-eloszlás	$\sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2}$
nem-centrális khí-eloszlás	$\sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2}$

Irodalom

• Wilson, E.B.; Hilferty, M.M.: The distribution of chi-squared. 1931. 684–688.. o.
• Horváth Gézáné: Kvantitatív módszerek I.Fejezetek a valószínűség-számításból. PERFEKT ZRT. 2005. ISBN 9789633945902
• Jonhson, N.L.; S. Kotz, , N. Balakrishnan: Continuous Univariate Distributions (Second Ed., Vol. 1, Chapter 18). John Willey and Sons. 1994. ISBN 0-471-58495-9
• Maddala, G.S: Limited-Dependent and Qualitative Variables in Econometrics. Cambridge University Press. 1983.

Kapcsolódó szócikkek

• Valószínűség-eloszlások listája
• Normális eloszlás
• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Gamma-eloszlás
• Gumbel-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűség-számítás
• Statisztika
• Burr-eloszlás

Források

• A khí-négyzet eloszlás a MathWorld-ön
• A khí-négyzet eloszlás a Debreceni Egyetem oldalán
• A khí-négyzet eloszlás a Yale Egyetem oldalán
• Szimuláció
• Rövid leírás