Kvaterniók

Hamilton

A matematikában a kvaterniók a komplex számok négy dimenzióra történő nem kommutatív kiterjesztései. Először Sir William Rowan Hamilton ír matematikus, fizikus és csillagász vezette be 1843-ban (Hamilton-féle számoknak is nevezik).

Definíció

Csoportelméleti definíció

Hasonlóan ahhoz, ahogy a komplex számokat a valós számkör i-vel való kiegészítésével kaptuk, ahol i kielégíti az i² = −1 egyenlőséget, a kvaterniókat az i, j és k elemek a valós számkörhöz való hozzáadásával nyerjük, ahol i, j és k megfelel a következőknek:

$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\,$

Ha a szorzást asszociatívnak tekintjük (és valóban az is), a következő egyenlőségek állnak fenn:

$\begin{matrix} ij & = & k, & & & & ji & = & -k, \\ jk & = & i, & & & & kj & = & -i, \\ ki & = & j, & & & & ik & = & -j. \end{matrix}$

Minden kvaternió felírható a báziskvaterniók (1, i, j és k) lineáris kombinációjaként, azaz minden kvaternió egyértelműen kifejezhető a + bi + cj + dk alakban, ahol a, b, c és d valós számok.

Halmazelméleti definíció

$\mathbb{H}$=$\{$(a, b, c, d) $\in \mathbb{R}$⁴$\}$

Halmazelméleti szempontból a kvaterniók a komplex számok önmagukkal vett direktszorzataként értelmezhetők, a következő összeadási és szorzási szabályokkal:

• (a, b, c, d)+(A, B, C, D) = (a+A, b+B, c+C, d+D)
• Szorzásukat egyszerűbb kifejezni az alábbi jelölésekkel: (a, b, c, d) = (a, v), ahol a egy valós szám, v egy három dimenziós vektor, valamint v*V skalár, v x V vektoriális szorzat. Ekkor (a, v) * (A, V) = (a*A-v*V, a*V + A*V + v x V)

A kvaterniók ferdetestet alkotnak.

Komplex mátrixok

Ez a konstrukció a kvaterniókat részgyűrűnek tekinti a $\Bbb C^{2\times 2}$-es mátrixok gyűrűjében. Az 1, i, j, k báziskvaterniókat ezek a mátrixok ábrázolják:

$1 \mapsto \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad \mathrm i \mapsto \begin{pmatrix} \mathrm i_{\mathbb C} & 0 \\ 0 & -\mathrm i_{\mathbb C} \end{pmatrix},\quad \mathrm j \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\quad \mathrm k \mapsto \begin{pmatrix} 0 & \mathrm i_{\mathbb C} \\ \mathrm i_{\mathbb C} & 0 \end{pmatrix},$

ahol is a komplex képzetes egységet $\mathrm i_\mathbb C$ jelöli az egyértelműség kedvéért.

Ebben az ábrázolásban

$\mathrm i \mapsto \mathrm i_{\mathbb C} \sigma_3,\quad \mathrm j \mapsto \mathrm i_{\mathbb C} \sigma_2,\quad \mathrm k \mapsto \mathrm i_{\mathbb C} \sigma_1,$

ahol $\sigma_i$ az i-edik Pauli-mátrixot jelöli.

Eszerint a kvaterniók halmaza megfelel a

$\bigg\{\begin{pmatrix}w&z\\-\overline z&\overline w\end{pmatrix}\,\bigg|\,w,z\in\mathbb C\bigg\}.$

mátrixok halmazának.

Ezeknek a mátrixoknak mindig $|w|^2+|z|^2$ a determinánsa, amiből már következik a nullosztómentesség, hiszen a mátrixok gyűrűjében a nullosztók determinánsa nulla, itt pedig az összes nem nulla mátrix determinánsa pozitív. A műveletek asszociativitása a mátrixműveletek asszociativitásából következik. Az $\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k$ szorzására vonatkozó szabályok egyszerű számolással igazolhatók.

A kvaterniók másként is ábrázolhatók a komplex számok fölötti $C^{2\times 2}$-es mátrixok gyűrűjében, de az összes többi lehetőség konjugált a már leírt változathoz.

Hányadosalgebra

Az absztrakt algebra lehetőséget ad a kvaterniók hányadosalgebraként történő definiálására. Eszerint a kvaterniók előállnak a három határozatlanú polinomok nem kommutatív gyűrűjének a Hamilton-szorzásszabályok alkotta ideállal vett faktoraként.

Egy másik módszerhez elég két határozatlan. Ekkor a kvaterniók algebrája az $i \mapsto e_1,\, j \mapsto e_2,\, k=ij \mapsto e_1e_2$ által generált két dimenziós euklidészi sík Clifford-algebrájaként áll elő.

A Clifford-algebrák egységelemes asszociatív algebrák, amiket egy kvadratikus alakkal ellátott vektortér generál. A Cℓ(V,Q) Clifford-algebra a legszabadabb algebra azzal a kikötéssel, hogy:

$v^2 = Q(v)1\ \mbox{ minden } v\in V.$

A három dimenziós forgatásokkal való összefüggésben fontos szerephez jut az, hogy a kvaterniók algebrája az $i \mapsto e_2e_3,\, j \mapsto e_3e_1,\,k \mapsto e_1e_2$ által generált euklidészi tér Clifford-algebrájának páros részének tekinthető.

Alapműveletek

Valós és képzetes rész

Az

$x_0+x_1\cdot\mathrm i+x_2\cdot\mathrm j+x_3\cdot\mathrm k$

kvaternió valós része:

$\mathrm{Re}\,x=x_0,$

míg a többi koordináta a képzetes részhez tartozik:

$\mathrm{Im}\,x=x_1\cdot\mathrm i + x_2\cdot\mathrm j + x_3\cdot\mathrm k$

A képzetes részt gyakran a valós három dimenziós vektorok vektorterével azonosítják:

$(x_1,x_2,x_3) \in \R^3$.

Ha az $x_0+x_1\cdot\mathrm i+x_2\cdot\mathrm j+x_3\cdot\mathrm k$ kvaterniókat a valós skalárból és a három dimenziós vektorból álló párokkal azonosítjuk:

$(s,\vec v)$, ahol $s=x_0$ és $\vec v=(x_1,x_2,x_3)$,

akkor a szorzás felírható így:

$(s,\vec v)\cdot (t,\vec w)=\Big(st-\langle\vec v,\vec w\rangle,\quad s\vec w+t\vec w+\vec v\times\vec w\Big).$

A valós számok azonosíthatók azokkal a kvaterniókkal, amiknek képzetes része a nullvektor.

Azokat a kvaterniókat, amiknek a valós része nulla, tiszta, vagy tisztán képzetes kvaternióknak nevezik. Ezek éppen azok a kvaterniók, aminek négyzete valós, és nem pozitív. A tisztán képzetes kvaterniók halmaza:

$\mathbb H _{\text{Rein}}=\mathrm{Im}\,\mathbb H=\{x\in\mathbb H\mid\mathrm{Re}\,x=0\}=\{x\in\mathbb H\mid x^2\in\R,\ x^2\leq0\}.$

Ez egy három dimenziós vektortér, aminek egy bázisa $\{\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k\}$.

Két tiszta képzetes kvaternió szorzatában a valós rész a tisztán képzetes kvaterniók skaláris szorzatának mínusz egyszerese; a képzetes rész a tisztán képzetes kvaterniók vektoriális szorzataként előálló tisztán képzetes kvaternió:

$(0,\vec v)\cdot(0,\vec w)=\Big({-\langle\vec v,\vec w\rangle},\quad \vec v\times\vec w\Big).$

Konjugálás és norma

Egy kvaternió konjugáltjában a valós rész ugyanaz, a képzetes rész ellentett:

$\overline{x_0+x_1i+x_2j+x_3k}=x_0-x_1i-x_2j-x_3k$

A konjugált másként is kifejezhető:

$\overline q = -\frac{1}{2} \left( q + \mathrm i \cdot q \cdot\mathrm i + \mathrm j \cdot q \cdot\mathrm j + \mathrm k \cdot q \cdot\mathrm k\right)$

A konjugálás legfontosabb tulajdonságai:

• $\overline{(\bar x)}=x$, a konjugált konjugáltja az eredeti kvaternió
• $\overline{x+y}=\bar x+\bar y$ és
  $\overline{\lambda x}=\lambda\cdot\bar x$ minden valós λ számra, vagyis a konjugálás lineáris leképezés $\mathbb R$ fölött
• $\overline{x\cdot y}=\bar y\cdot\bar x$
• $x\cdot\bar x=x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2$, az $(x_0,x_1,x_2,x_3)$ vektorok normája mindig valós, és sohasem negatív

Ezt a mennyiséget az ${x_0+x_1i+x_2j+x_3k}=$ kvaternió normájának is nevezik.

Erre a normára teljesül az

$|x\cdot y|=|x|\cdot|y|.$

összefüggés, így ezzel a normával a kvaterniók Banach-algebrát alkotnak.

Ahogy a komplex számoknál, úgy a kvaternióknál is megadható a valós és a képzetes rész a konjugálás segítségével:

• $\frac{x+\bar x}2$ a valós rész;
• $\frac{x-\bar x}2$ a képzetes rész.

Ha egy kvaternió megegyezik a konjugáltjával, akkor valós. Ha a konjugálás ellentettjére változtatja, akkor tisztán képzetes.

A norma kifejezhető a konjugálással:

$|x|=\sqrt{x\cdot\bar x}$

Invertálás

Az $x\ne0$ kvaternió inverze az az x⁻¹ kvaternió, amivel

$x\cdot x^{-1}=1\quad$ és $\quad x^{-1}\cdot x=1.$

Mivel a szorzás nem kommutatív, azért kétféle osztás definiálható:

$b\cdot a^{-1}\quad$ és $\quad a^{-1}\cdot b,$

amik rendre a

$xa=b\quad$ és az $\quad ax=b$

egyenleteket oldják meg.

A két egyenlet megoldása akkor és csak akkor egyezik meg, ha a valós, mert csak a valósok cserélhetők fel az összes kvaternióval. Az absztrakt algebra nyelvén úgy mondjuk, hogy a kvaterniók ferdetestének centruma a valós számok halmaza. Így a $\textstyle\frac ba$ kifejezésbe hallgatólagosan beleértjük, hogy a valós.

Ezen kívül teljesül

$a^{-1}\cdot b^{-1}=(b\cdot a)^{-1},$

ugyanis

$a^{-1}\cdot b^{-1}\cdot b\cdot a=1\quad$

és

$\quad (b\cdot a)^{-1}\cdot b\cdot a=1.$

Ezzel egy $x\ne0$ kvaternió inverze

$x^{-1}=\frac{\bar x}{|x|^2},$

mivelhogy

$x^{-1}=({\bar x}\cdot{\bar x}^{-1})\cdot x^{-1}={\bar x}\cdot({\bar x}^{-1}\cdot x^{-1})={\bar x}\cdot(x\cdot {\bar x})^{-1}={\bar x}\cdot(|x|^2)^{-1}.$

$|x|^2$ valós, és $\ne0$, ezért ez a kifejezés tört alakban is írható:

$\frac{\bar x}{|x|^2}.$

Egységkvaterniók

Az egységkvaterniók az 1 normájú kvaterniók. Az 1 abszolútértékű komplex számokhoz hasonlóan

$\bar x=x^{-1}.$

Tetszőleges $x\ne0$ kvaternióra

$\frac x{|x|}=\frac{x_0}{|x|}+\frac{x_1}{|x|}\cdot\mathrm i+\frac{x_2}{|x|}\cdot\mathrm j+\frac{x_3}{|x|}\cdot\mathrm k$

az x kvaternióval megegyező irányú egységkvaternió.

Egységkvaternió inverze újra egységkvaternió. Két egységkvaternió szorzata megint egységkvaternió. A szorzás asszociativitása miatt az egységkvaterniók csoportot alkotnak a szorzásra.

Az

$\{\pm1,\pm\mathrm i,\pm\mathrm j,\pm\mathrm k\}.$: $\{\pm1,\pm\mathrm i,\pm\mathrm j,\pm\mathrm k\}.$

kvaterniók szintén egységkvaterniók. Részcsoportot alkotnak az egységkvaterniók csoportjában, az úgynevezett kvaterniócsoportot.

A Lie-csoport olyan csoport, ami a szorzáson és az invertáláson kívül még egy topológiával is el van látva, amire nézve az előbbi műveletek folytonosak. Az egységkvateriók halmaza egy három dimenziós gömbfelszín a négy dimenziós térben, ami ezzel Lie-csoporttá válik. A hozzá tartozó Lie-algebra a tiszta kvaterniók tere. A mátrixos ábrázolásban az egységkvaterniók csoportját éppen az SU(2) speciális unitér csoport ábrázolja. Ez megmagyarázza a kapcsolatot a Pauli-mátrixokkal.

A tiszta egységkvaterniók éppen azok a kvaterniók, amiknek négyzete -1:

$x_0=0 \land x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\qquad\iff\qquad x^2=-1.$

Geometriailag a tiszta egységkvaterniók egy két dimenziós gömbfelszínt alkotnak a három dimenziós térben. Minden kvaternió, aminek $-1$ a négyzete, definiálja a komplex számok egy beágyazását:

$\mathbb C\to\mathbb H,\qquad a+b\mathrm i\mapsto a+bx,\quad a,b\in\R.$

De ez csak egy beágyazás. A kvaterniók nem alkotnak algebrát a komplex számok fölött.

Trigonometrikus alak

Ahogy a komplex számok,

$z=|z|\cdot(\cos\phi+\mathrm i\sin\phi)=|z|\cdot\mathrm e^{\mathrm i\phi}$

úgy a kvateriók is leírhatók trigonometrikus alakban.

Az $x\ne\pm1$ tiszta egységkvateriók trigonometrikus alakja:

$x=\cos\alpha+v\cdot\sin\alpha$

és ez egyértelmű, ha $0<\alpha<\pi\$

A kvaterniókra kiterjesztett exponenciális függvény segítségével:

$x=\exp(\alpha v);\$

más szóval: az exponenciális leképezés bijekció az $<\pi\$ normájú tiszta kvaterniók halmaza és a -1 nélküli egységkvaterniók halmaza között.

Általánosabban, minden nem valós kvaternió egyértelműen felírható, mint

$x=|x|\cdot(\cos\alpha+v\sin\alpha)$

ahol $\alpha,v$, mint előbb

vagy a negatív valós számokon kívüli kvaterniók

$x=|x|\cdot\exp X$,

ahol $X$ tiszta kvaternió, amire $|X|<\pi\$.

Konstrukciók kvaterniókkal

Szorzatok

Két kvaternió képzetes részének vektoriális szorzata a két kvaternió kommutátorának kétszerese:

Ha $x=(s,\vec v)$ és $y=(t,\vec w)$,

akkor

$\vec v\times\vec w=\frac{x\cdot y-y\cdot x}2.$

Két kvaternió, mint négy dimenziós vektor skalárszorzata éppen $\bar x\cdot y$ vagy $x\cdot\bar y$:

$x_0y_0+x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3=\mathrm{Re}(\bar xy)=\mathrm{Re}(x\bar y).$

A kvaternió koordinátái megadhatók, mint

$x_0=\mathrm{Re}\,x,\quad x_1=-\mathrm{Re}(\mathrm ix),\quad x_2=-\mathrm{Re}(\mathrm jx),\quad x_3=-\mathrm{Re}(\mathrm kx).$

Két kvaternió Minkowski-skalárszorzata az xy szorzat valós része:

$x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3=\mathrm{Re}(xy).\$

Vektoranalízis

A következőkben azonosítjuk a tiszta kvaterniókat $\R^3$ vektoraival.

Ha így definiáljuk a nabla operátort:

$\nabla=\mathrm i\cdot\frac\partial{\partial x}+\mathrm j\cdot\frac\partial{\partial y}+\mathrm k\cdot\frac\partial{\partial z},$

és az

$\vec F(x,y,z)=u(x,y,z)\cdot\mathrm i+v(x,y,z)\cdot\mathrm j+w(x,y,z)\cdot\mathrm k$

vektormezőre alkalmazzuk, akkor kapjuk, hogy:

$\nabla\vec F=-\mathrm{div}\,\vec F+\mathrm{rot}\,\vec F.$

Itt $-\mathrm{div}\,\vec F$ a valós, $\mathrm{rot}\,\vec F$ a képzetes rész.

A nabla operátort kéteszer az $f(x,y,z)$ függvényre alkalmazva:

$\nabla^2f=-\triangle f=-\left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}\right),$

azaz a $\nabla$ operátor úgy hat, mint a Laplace-operátor négyzetgyöke.

Forgatások a három dimenziós térben

Az egységkvaterniók elegáns módot kínálnak a forgatások leírására a három dimenziós térben: rögzített q kvaternióra a

$\rho_q\colon x\mapsto qx\bar q$

leképezés forgatás $\mathrm{Im}\,\mathbb H$-ben.

Ha trigonometrikus alakba írjuk a q kvaterniót:

$q=\cos\alpha+v\cdot\sin\alpha$

ahol $0<\alpha<\pi\$, és $v\$ tiszta egységkvaternió, akkor a forgatás szöge $2\alpha\$, és tengelye $v\in\R^3$.

Minden q egységkvaternió ugyanazt a forgatást definiálja, mint -q; például 1 és -1 is az identitásnak felel meg. Tehát az ortogonális mátrixokkal ellenben ez a megfeleltetés nem egy-egyértelmű: minden R forgatáshoz két egységkvaternió van, amire $\rho_q=R$.

Forgatások egymásutánja, más néven szorzata az egységkvaterniók szorzásának felel meg:

$\rho_{q_1}\circ\rho_{q_2}=\rho_{q_1\cdot q_2}.$

A forgásirány megfordítása a konjugálás megfelelője:

$\rho_{\bar q}=\rho_q^{-1},$

ami az egységkvaterniók körében ugyanaz, mint az invertálás.

Mindezek miatt ez a leképezés homomorfizmus, de nem izomorfizmus.

Kapcsolat az ortogonális mátrixokkal

A $q=w+x\cdot\mathrm i+y\cdot\mathrm j+z\cdot\mathrm k,\qquad w^2+x^2+y^2+z^2=1,$ egységkvaterniónak megfelelő ortogonális mátrix

$\begin{pmatrix} w^2 + x^2 - y^2 - z^2 & -2wz+2xy & 2wy+2xz \\ 2wz+2xy & w^2 - x^2 + y^2 - z^2 & -2wx+2yz \\ -2wy+2xz & 2wx+2yz & w^2 - x^2- y^2+ z^2 \end{pmatrix}$

${}=\begin{pmatrix} 1-2(y^2 + z^2) & -2wz+2xy & 2wy+2xz \\ 2wz+2xy & 1-2(x^2 + z^2) & -2wx+2yz \\ -2wy+2xz & 2wx+2yz & 1-2(x^2 + y^2) \end{pmatrix}.$

A mátrixból a kvaterniók meghatározásához elég a forgatás tengelyét és szögét megadni, és a trigonometrikus képletbe behelyettesíteni.

Kapcsolat az Euler-szögekkel

Az Euler-szögekre különféle konvenciók vannak. Itt azokat a forgatásokat tekintjük, amik megkaphatók úgy, hogy először a z tengely körül $\Phi$, utána az új x tengely körül $\Theta$, végül az új z tengely körül $\Psi$ szöggel forgatva kapunk. Az egyes forgatások rendre a

$\cos\frac\Phi2+\mathrm k\cdot\sin\frac\Phi2,\quad \cos\frac\Theta2+\mathrm i\cdot\sin\frac\Theta2,\quad \cos\frac\Psi2+\mathrm k\cdot\sin\frac\Psi2,$

kvaternióknak felelnek meg.

Mivel az elforgatott tengelyt forgatjuk, a szorzás sorrendje fordított:

$\left(\cos\frac\Phi2+\mathrm k\cdot\sin\frac\Phi2\right)\left(\cos\frac\Theta2+\mathrm i\cdot\sin\frac\Theta2\right)\left(\cos\frac\Psi2+\mathrm k\cdot\sin\frac\Psi2\right)$

${}=\cos\frac\Phi2\cos\frac\Theta2\cos\frac\Psi2-\sin\frac\Phi2\cos\frac\Theta2\sin\frac\Psi2$

${}+\mathrm i\cdot\left(\cos\frac\Phi2\sin\frac\Theta2\cos\frac\Psi2+\sin\frac\Phi2\sin\frac\Theta2\sin\frac\Psi2\right)$

${}+\mathrm j\cdot\left(-\cos\frac\Phi2\sin\frac\Theta2\sin\frac\Psi2+\sin\frac\Phi2\sin\frac\Theta2\cos\frac\Psi2\right)$

${}+\mathrm k\cdot\left(\sin\frac\Phi2\cos\frac\Theta2\cos\frac\Psi2+\cos\frac\Phi2\cos\frac\Theta2\sin\frac\Psi2\right).$

Hasonlók adódnak más konvenciók esetén is.

A forgáscsoport univerzális fedése

Az $q\mapsto\rho_q$ leképezés művelettartó (homomorfizmus) az egységkvaterniók csoportjából az SO(3) forgatáscsoportba; az egységkvaterniókat azonosítva az $\mathrm{SU}(2)$ generátoraival egy

$\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(3).$

homomorfizmust kapunk.

Ez egy kétrétegű fedés, aminek magja a $\{\pm1\}$ centrum. A fedés univerzális, hiszen $\mathrm{SU}(2)\cong S^3$ egyszeresen összefüggő. Spincsoportnak is nevezik, és $\mathrm{Spin}(3)$-mal is jelölik, és szorosan kapcsolódik a fizikai spinhez. Az $\mathrm{SU}(2)$ → $\mathbb C^2$ leképezés egy úgynevezett spinorábrázolás, azaz egy olyan ábrázolás, amiben a négyzetes mátrixok mérete páros. Három báziskvaternió, i, j és k az SU(2) három hermitikus generáló mátrixának, a Pauli-mátrixoknak felel meg:

$\sigma_x :=\begin{pmatrix} 0, 1\\ 1, 0\end{pmatrix}$ ,    $\sigma_y :=\begin{pmatrix} 0, -i\\ +i, 0\end{pmatrix}$ ,    $\sigma_z :=\begin{pmatrix}+1, 0\\ 0, -1\end{pmatrix}$ 

Így függ össze a két alaptétel:

i = σ_x/i , j = σ_y/i és k = σ_z/i

ahol i a komplex képzetes egység, így az elméleti fizikából ismert σ_xσ_y= i σ_z kapcsolat éppen az i $\cdot$ j = k relációnak felel meg. A σ-mátrixok hermitikus voltuk miatt mérhető mennyiségekként jöhetnek szóba a kvantummechanikában, ellentétben a i, j és a k báziskvaterniókkal, ami fontos a kvantummechanika matematikai modellezésében. Közelebbről $\mathrm{SU(2)}\equiv\{ \exp(i\frac{1}{2}\vec\alpha\cdot\vec\sigma)\}$, aminek valós vektorkoordinátái α_x, α_y és α_z. Az 1/2 szorzónak többek között az a hatása,hogy a spinorok a vektorokkal ellentétben nem kerülnek vissza alaphelyzetükbe 2 π -vel  (=360 fokkal) elforgatva, hanem csak annak kétszerese után.

A négy dimenziós tér ortogonális leképezései

A három dimenziós esethez hasonlóan $\mathbb H$ minden irányítástartó hasonlósági transzformációja felírható, mint:

$\rho_{a,b}\colon x\mapsto ax\bar b$

az $a,b$ egységkvaterniókkal.

Teljesül, hogy:

$\rho_{a_1,b_1}\circ\rho_{a_2,b_2}=\rho_{a_1a_2,b_1b_2}\quad\mathrm{und}\quad\rho_{\bar a,\bar b}=\rho_{a,b}^{-1}.$

Ez a konstrukció fedést ad:

$\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(4)$

aminek magja $\{(1,1),(-1,-1)\}$.

A kvaterniók algebrája

Izomorfia erejéig három véges dimenziós asszociatív algebra van a valós számok felett: saját maga, algebrai lezártja, és a felette vett kvaterniók.

$\mathbb H$ centruma $\R$, ezért definiálható rajta redukált norma és redukált nyom:

$\mathrm{Nrd}(x)=|x|^2\quad$és $\quad\mathrm{Trd}(x)=2\cdot\mathrm{Re}\,x$

A valós számokról a komplex számokra áttérve a kvaterniók algebrája mátrixalgebrává válik:

$\mathbb H\otimes_\mathbb R\mathbb C\cong M_2(\mathbb C).$

A tenzorszorzat $\mathbb C$ faktorra vett komplex konjugáció involúciót szolgáltat a mátrixalgebrában, aminek invariánsai egy $\mathbb H$-val izomorf algebrát alkotnak.

Az

$A\mapsto w\bar Aw^{-1},$ ahol az $w=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$

involúció megfelel a kvaterniók fenti mátrixmodelljének.

A kvaterniók algebrája egy negatív definit szimmetrikus kvadratikus alakkal ellátott $\R^2$ Clifford-algebrájának tekinthető.

Alkalmazásai

A kvaterniók legfontosabb haszna, hogy a tisztán képzetes (azaz a valós része, az 'a' komponens 0) számokkal leírható a három dimenziós vektortér. A kvaterniókat a háromdimenziós mozgásokkal való szoros kapcsolata miatt felhasználják robotok vezérlésénél.

A kvaterniókat CAD programok is felhasználják a térbeli elforgatások kezelésére és az elforgatás tengelyének és szögének tárolására, ugyanis egy kvaternióhoz csak 4 lebegőpontos adatot kell tárolni (a tengellyel együtt), szemben az elforgatási mátrix 3×3 elemével és az elforgatás tengelyéhez szükséges további 3 elemmel. A kvaternió könnyedén átalakítható elforgatási mátrix alakba, és a kvaterniókkal való számítások gyakran kevesebb műveletet igényelnek, mint a vektoros–mátrixos számítások. Kvaterniókat alkalmaz pl. a MicroStation CAD program.

Négynégyzetszám-tétel

Legyen

$x_1=a_1+b_1\cdot\mathrm i+c_1\cdot\mathrm j+d_1\cdot\mathrm k\quad$ és $\quad x_2=a_2+b_2\cdot\mathrm i+c_2\cdot\mathrm j+d_2\cdot\mathrm k$

Az

$|x_1|^2\cdot|x_2|^2=|x_1x_2|^2$

egyenlőségből adódik a tisztán valós azonosság:

$(a_1^2+b_1^2+c_1^2+d_1^2)(a_2^2+b_2^2+c_2^2+d_2^2)$

${}=(a_1a_2-b_1b_2-c_1c_2-d_1d_2)^2+(a_1b_2+b_1a_2+c_1d_2-d_1c_2)^2\,$

${}+(a_1c_2-b_1d_2+c_1a_2+d_1b_2)^2+(a_1d_2+b_1c_2-c_1b_2+d_1a_2)^2.\,$

Ha az összes szám egész, akkor ez az egyenlőség azt állítja, hogy két, négy négyzetszám összegeként felírható szám szorzata szintén felírható négy négyzetszám összegeként.

A négynégyzetszám-tétel szerint minden természetes szám felírható négy négyzetszám összegeként. Az előző állítás szerint elég a tételt a prímszámokra belátni. Ez alapján ezt az utóbbit is nevezik négynégyzetszám-tételnek.

Rokon témák

A kvaterniókhoz hasonló konstrukciókat hiperkomplex számoknak is nevezik. A Cayley-számok a kvaterniók nyolc dimenziós analogonjai. Az ő körükben szorzás se nem kommutatív, se nem asszociatív. A Cayley-számok szorzása alternatív:

$a \cdot ( a \cdot b ) = ( a \cdot a ) \cdot b$ és $a \cdot ( b \cdot b ) = ( a \cdot b ) \cdot b$ minden a, b Cayley-számra.

Források

• Doing Physics with Quaternions (PDF; 563 kB)
• Serge Lang, Algebra. Springer-Verlag, New York 2002. ISBN 0-387-95385-X