Kvaterniók

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Hamilton

A matematikában a kvaterniók a komplex számok négy dimenzióra történő nem kommutatív kiterjesztései. Először Sir William Rowan Hamilton ír matematikus, fizikus és csillagász vezette be 1843-ban (Hamilton-féle számoknak is nevezik).

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Csoportelméleti definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hasonlóan ahhoz, ahogy a komplex számokat a valós számkör i-vel való kiegészítésével kaptuk, ahol i kielégíti az i2 = −1 egyenlőséget, a kvaterniókat az i, j és k elemeknek a valós számkörhöz való hozzávételével nyerjük, ahol i, j és k teljesíti a következőket:

i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1.\,

Ha a szorzást asszociatívnak tekintjük (és valóban az is), a következő egyenlőségek állnak fenn:

\begin{matrix}
ij & = & k, & & & & ji & = & -k, \\
jk & = & i, & & & & kj & = & -i, \\
ki & = & j, & & & & ik & = & -j.
\end{matrix}

Minden kvaternió felírható a báziskvaterniók (1, i, j és k) lineáris kombinációjaként, azaz minden kvaternió egyértelműen kifejezhető a + bi + cj + dk alakban, ahol a, b, c és d valós számok.

Halmazelméleti definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\mathbb{H}=\{(a, b, c, d) \in \mathbb{R}4\}

Halmazelméleti szempontból a kvaterniók a komplex számok önmagukkal vett direktszorzataként értelmezhetők, a következő összeadási és szorzási szabályokkal:

  • (a, b, c, d)+(A, B, C, D) = (a+A, b+B, c+C, d+D)
  • Szorzásukat egyszerűbb kifejezni az alábbi jelölésekkel: (a, b, c, d) = (a, v), ahol a egy valós szám, v egy háromdimenziós vektor, valamint v*V a skaláris szorzatukat, v x V pedig a vektoriális szorzatukat jelöli. Ekkor (a, v) * (A, V) = (a*A-v*V, a*V + A*v + v x V)

A kvaterniók ferdetestet alkotnak.

Komplex mátrixok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a konstrukció a kvaterniókat részgyűrűnek tekinti a \Bbb C^{2\times 2}-es mátrixok gyűrűjében. Az 1, i, j, k báziskvaterniókat ezek a mátrixok ábrázolják:

1 \mapsto \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad
\mathrm i \mapsto \begin{pmatrix} \mathrm i_{\mathbb C} & 0 \\ 0 & -\mathrm i_{\mathbb C} \end{pmatrix},\quad
\mathrm j \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\quad
\mathrm k \mapsto \begin{pmatrix} 0 & \mathrm i_{\mathbb C} \\ \mathrm i_{\mathbb C} & 0 \end{pmatrix},

ahol is a komplex képzetes egységet \mathrm i_\mathbb C jelöli az egyértelműség kedvéért.

Ebben az ábrázolásban


\mathrm i \mapsto \mathrm i_{\mathbb C} \sigma_3,\quad
\mathrm j \mapsto \mathrm i_{\mathbb C} \sigma_2,\quad
\mathrm k \mapsto \mathrm i_{\mathbb C} \sigma_1,

ahol \sigma_i az i-edik Pauli-mátrixot jelöli.

Eszerint a kvaterniók halmaza megfelel a

\bigg\{\begin{pmatrix}w&z\\-\overline z&\overline w\end{pmatrix}\,\bigg|\,w,z\in\mathbb C\bigg\}.

mátrixok halmazának.

Ezeknek a mátrixoknak mindig |w|^2+|z|^2 a determinánsa, amiből már következik a nullosztómentesség, hiszen a mátrixok gyűrűjében a nullosztók determinánsa nulla, itt pedig az összes nem nulla mátrix determinánsa pozitív. A műveletek asszociativitása a mátrixműveletek asszociativitásából következik. Az \mathrm i,\mathrm j,\mathrm k szorzására vonatkozó szabályok egyszerű számolással igazolhatók.

A kvaterniók másként is ábrázolhatók a komplex számok fölötti C^{2\times 2}-es mátrixok gyűrűjében, de az összes többi lehetőség konjugált a már leírt változathoz.

Hányadosalgebra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az absztrakt algebra lehetőséget ad a kvaterniók hányadosalgebraként történő definiálására. Eszerint a kvaterniók előállnak a három határozatlanú polinomok nem kommutatív gyűrűjének a Hamilton-szorzásszabályok alkotta ideállal vett faktoraként.

Egy másik módszerhez elég két határozatlan. Ekkor a kvaterniók algebrája az i \mapsto e_1,\, j \mapsto e_2,\, k=ij \mapsto e_1e_2 által generált kétdimenziós euklideszi sík Clifford-algebrájaként áll elő.

A Clifford-algebrák egységelemes asszociatív algebrák, amiket egy kvadratikus alakkal ellátott vektortér generál. A Cℓ(V,Q) Clifford-algebra a legszabadabb algebra azzal a kikötéssel, hogy:

v^2 = Q(v)1\ \mbox{ minden } v\in V.

A háromdimenziós forgatásokkal való összefüggésben fontos szerephez jut az, hogy a kvaterniók algebrája az i \mapsto e_2e_3,\, j \mapsto e_3e_1,\,k \mapsto e_1e_2 által generált euklideszi tér Clifford-algebrájának páros részének tekinthető.

Alapműveletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Valós és képzetes rész[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az

x_0+x_1\cdot\mathrm i+x_2\cdot\mathrm j+x_3\cdot\mathrm k

kvaternió valós része:

\mathrm{Re}\,x=x_0,

míg a többi koordináta a képzetes részhez tartozik:

\mathrm{Im}\,x=x_1\cdot\mathrm i + x_2\cdot\mathrm j + x_3\cdot\mathrm k

A képzetes részt gyakran a valós háromdimenziós vektorok vektorterével azonosítják:

(x_1,x_2,x_3) \in \R^3.

Ha az x_0+x_1\cdot\mathrm i+x_2\cdot\mathrm j+x_3\cdot\mathrm k kvaterniókat a valós skalárból és a háromdimenziós vektorból álló párokkal azonosítjuk:

(s,\vec v), ahol s=x_0 és \vec v=(x_1,x_2,x_3),

akkor a szorzás felírható így:

(s,\vec v)\cdot (t,\vec w)=\Big(st-\langle\vec v,\vec w\rangle,\quad s\vec w+t\vec w+\vec v\times\vec w\Big).

A valós számok azonosíthatók azokkal a kvaterniókkal, amiknek képzetes része a nullvektor.

Azokat a kvaterniókat, amiknek a valós része nulla, tiszta, vagy tisztán képzetes kvaternióknak nevezik. Ezek éppen azok a kvaterniók, aminek négyzete valós, és nem pozitív. A tisztán képzetes kvaterniók halmaza:

\mathbb H _{\text{Rein}}=\mathrm{Im}\,\mathbb H=\{x\in\mathbb H\mid\mathrm{Re}\,x=0\}=\{x\in\mathbb H\mid x^2\in\R,\ x^2\leq0\}.

Ez egy háromdimenziós vektortér, aminek egy bázisa \{\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k\}.

Két tiszta képzetes kvaternió szorzatában a valós rész a tisztán képzetes kvaterniók skaláris szorzatának mínusz egyszerese; a képzetes rész a tisztán képzetes kvaterniók vektoriális szorzataként előálló tisztán képzetes kvaternió:

(0,\vec v)\cdot(0,\vec w)=\Big({-\langle\vec v,\vec w\rangle},\quad \vec v\times\vec w\Big).

Konjugálás és norma[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy kvaternió konjugáltjában a valós rész ugyanaz, a képzetes rész ellentett:

\overline{x_0+x_1i+x_2j+x_3k}=x_0-x_1i-x_2j-x_3k

A konjugált másként is kifejezhető:

\overline q = -\frac{1}{2} \left( q + \mathrm i \cdot q \cdot\mathrm i + \mathrm j \cdot q \cdot\mathrm j + \mathrm k \cdot q \cdot\mathrm k\right)

A konjugálás legfontosabb tulajdonságai:

  • \overline{(\bar x)}=x, a konjugált konjugáltja az eredeti kvaternió
  • \overline{x+y}=\bar x+\bar y és
    \overline{\lambda x}=\lambda\cdot\bar x minden valós λ számra, vagyis a konjugálás lineáris leképezés \mathbb R fölött
  • \overline{x\cdot y}=\bar y\cdot\bar x
  • x\cdot\bar x=x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2, az (x_0,x_1,x_2,x_3) vektorok normája mindig valós, és sohasem negatív

Ezt a mennyiséget az {x_0+x_1i+x_2j+x_3k}= kvaternió normájának is nevezik.

Erre a normára teljesül az

|x\cdot y|=|x|\cdot|y|.

összefüggés, így ezzel a normával a kvaterniók Banach-algebrát alkotnak.

Ahogy a komplex számoknál, úgy a kvaternióknál is megadható a valós és a képzetes rész a konjugálás segítségével:

  • \frac{x+\bar x}2 a valós rész;
  • \frac{x-\bar x}2 a képzetes rész.

Ha egy kvaternió megegyezik a konjugáltjával, akkor valós. Ha a konjugálás ellentettjére változtatja, akkor tisztán képzetes.

A norma kifejezhető a konjugálással:

|x|=\sqrt{x\cdot\bar x}

Invertálás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az x\ne0 kvaternió inverze az az x−1 kvaternió, amivel

x\cdot x^{-1}=1\quad és \quad x^{-1}\cdot x=1.

Mivel a szorzás nem kommutatív, azért kétféle osztás definiálható:

b\cdot a^{-1}\quad és \quad a^{-1}\cdot b,

amik rendre a

xa=b\quad és az \quad ax=b

egyenleteket oldják meg.

A két egyenlet megoldása akkor és csak akkor egyezik meg, ha a valós, mert csak a valósok cserélhetők fel az összes kvaternióval. Az absztrakt algebra nyelvén úgy mondjuk, hogy a kvaterniók ferdetestének centruma a valós számok halmaza. Így a \textstyle\frac ba kifejezésbe hallgatólagosan beleértjük, hogy a valós.

Ezen kívül teljesül

a^{-1}\cdot b^{-1}=(b\cdot a)^{-1},

ugyanis

a^{-1}\cdot b^{-1}\cdot b\cdot a=1\quad

és

\quad (b\cdot a)^{-1}\cdot b\cdot a=1.

Ezzel egy x\ne0 kvaternió inverze

x^{-1}=\frac{\bar x}{|x|^2},

mivelhogy

x^{-1}=({\bar x}\cdot{\bar x}^{-1})\cdot x^{-1}={\bar x}\cdot({\bar x}^{-1}\cdot x^{-1})={\bar x}\cdot(x\cdot {\bar x})^{-1}={\bar x}\cdot(|x|^2)^{-1}.

|x|^2 valós, és \ne0, ezért ez a kifejezés tört alakban is írható:

\frac{\bar x}{|x|^2}.

Egységkvaterniók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egységkvaterniók az 1 normájú kvaterniók. Az 1 abszolútértékű komplex számokhoz hasonlóan

\bar x=x^{-1}.

Tetszőleges x\ne0 kvaternióra

\frac x{|x|}=\frac{x_0}{|x|}+\frac{x_1}{|x|}\cdot\mathrm i+\frac{x_2}{|x|}\cdot\mathrm j+\frac{x_3}{|x|}\cdot\mathrm k

az x kvaternióval megegyező irányú egységkvaternió.

Egységkvaternió inverze újra egységkvaternió. Két egységkvaternió szorzata megint egységkvaternió. A szorzás asszociativitása miatt az egységkvaterniók csoportot alkotnak a szorzásra.

Az

\{\pm1,\pm\mathrm i,\pm\mathrm j,\pm\mathrm k\}.: \{\pm1,\pm\mathrm i,\pm\mathrm j,\pm\mathrm k\}.

kvaterniók szintén egységkvaterniók. Részcsoportot alkotnak az egységkvaterniók csoportjában, az úgynevezett kvaterniócsoportot.

A Lie-csoport olyan csoport, ami a szorzáson és az invertáláson kívül még egy topológiával is el van látva, amire nézve az előbbi műveletek folytonosak. Az egységkvaterniók halmaza egy háromdimenziós gömbfelszín a négydimenziós térben, ami ezzel Lie-csoporttá válik. A hozzá tartozó Lie-algebra a tiszta kvaterniók tere. A mátrixos ábrázolásban az egységkvaterniók csoportját éppen az SU(2) speciális unitér csoport ábrázolja. Ez megmagyarázza a kapcsolatot a Pauli-mátrixokkal.

A tiszta egységkvaterniók éppen azok a kvaterniók, amiknek négyzete -1:

x_0=0 \land x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\qquad\iff\qquad x^2=-1.

Geometriailag a tiszta egységkvaterniók egy kétdimenziós gömbfelszínt alkotnak a háromdimenziós térben. Minden kvaternió, aminek -1 a négyzete, definiálja a komplex számok egy beágyazását:

\mathbb C\to\mathbb H,\qquad a+b\mathrm i\mapsto a+bx,\quad a,b\in\R.

De ez csak egy beágyazás. A kvaterniók nem alkotnak algebrát a komplex számok fölött.

Trigonometrikus alak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ahogy a komplex számok,

z=|z|\cdot(\cos\phi+\mathrm i\sin\phi)=|z|\cdot\mathrm e^{\mathrm i\phi}

úgy a kvateriók is leírhatók trigonometrikus alakban.

Az x\ne\pm1 tiszta egységkvateriók trigonometrikus alakja:

x=\cos\alpha+v\cdot\sin\alpha

és ez egyértelmű, ha 0<\alpha<\pi\

A kvaterniókra kiterjesztett exponenciális függvény segítségével:

x=\exp(\alpha v);\

más szóval: az exponenciális leképezés bijekció az <\pi\ normájú tiszta kvaterniók halmaza és a -1 nélküli egységkvaterniók halmaza között.

Általánosabban, minden nem valós kvaternió egyértelműen felírható, mint

x=|x|\cdot(\cos\alpha+v\sin\alpha)

ahol \alpha,v, mint előbb

vagy a negatív valós számokon kívüli kvaterniók

x=|x|\cdot\exp X,

ahol X tiszta kvaternió, amire |X|<\pi\ .

Konstrukciók kvaterniókkal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Szorzatok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két kvaternió képzetes részének vektoriális szorzata a két kvaternió kommutátorának kétszerese:

Ha x=(s,\vec v) és y=(t,\vec w),

akkor

\vec v\times\vec w=\frac{x\cdot y-y\cdot x}2.

Két kvaternió, mint négydimenziós vektor skalárszorzata éppen \bar x\cdot y vagy x\cdot\bar y:

x_0y_0+x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3=\mathrm{Re}(\bar xy)=\mathrm{Re}(x\bar y).

A kvaternió koordinátái megadhatók, mint

x_0=\mathrm{Re}\,x,\quad x_1=-\mathrm{Re}(\mathrm ix),\quad x_2=-\mathrm{Re}(\mathrm jx),\quad x_3=-\mathrm{Re}(\mathrm kx).

Két kvaternió Minkowski-skalárszorzata az xy szorzat valós része:

x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3=\mathrm{Re}(xy).\

Vektoranalízis[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A következőkben azonosítjuk a tiszta kvaterniókat \R^3 vektoraival.

Ha így definiáljuk a nabla operátort:

\nabla=\mathrm i\cdot\frac\partial{\partial x}+\mathrm j\cdot\frac\partial{\partial y}+\mathrm k\cdot\frac\partial{\partial z},

és az

\vec F(x,y,z)=u(x,y,z)\cdot\mathrm i+v(x,y,z)\cdot\mathrm j+w(x,y,z)\cdot\mathrm k

vektormezőre alkalmazzuk, akkor kapjuk, hogy:

\nabla\vec F=-\mathrm{div}\,\vec F+\mathrm{rot}\,\vec F.

Itt -\mathrm{div}\,\vec F a valós, \mathrm{rot}\,\vec F a képzetes rész.

A nabla operátort kéteszer az f(x,y,z) függvényre alkalmazva:

\nabla^2f=-\triangle f=-\left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}\right),

azaz a \nabla operátor úgy hat, mint a Laplace-operátor négyzetgyöke.

Forgatások a háromdimenziós térben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egységkvaterniók elegáns módot kínálnak a forgatások leírására a háromdimenziós térben: rögzített q kvaternióra a

\rho_q\colon x\mapsto qx\bar q

leképezés forgatás \mathrm{Im}\,\mathbb H-ben.

Ha trigonometrikus alakba írjuk a q kvaterniót:

q=\cos\alpha+v\cdot\sin\alpha

ahol 0<\alpha<\pi\ , és v\ tiszta egységkvaternió, akkor a forgatás szöge 2\alpha\ , és tengelye v\in\R^3.

Minden q egységkvaternió ugyanazt a forgatást definiálja, mint -q; például 1 és -1 is az identitásnak felel meg. Tehát az ortogonális mátrixokkal ellenben ez a megfeleltetés nem egy-egyértelmű: minden R forgatáshoz két egységkvaternió van, amire \rho_q=R.

Forgatások egymásutánja, más néven szorzata az egységkvaterniók szorzásának felel meg:

\rho_{q_1}\circ\rho_{q_2}=\rho_{q_1\cdot q_2}.

A forgásirány megfordítása a konjugálás megfelelője:

\rho_{\bar q}=\rho_q^{-1},

ami az egységkvaterniók körében ugyanaz, mint az invertálás.

Mindezek miatt ez a leképezés homomorfizmus, de nem izomorfizmus.

Kapcsolat az ortogonális mátrixokkal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A q=w+x\cdot\mathrm i+y\cdot\mathrm j+z\cdot\mathrm k,\qquad w^2+x^2+y^2+z^2=1, egységkvaterniónak megfelelő ortogonális mátrix


\begin{pmatrix}
w^2 + x^2 - y^2 - z^2 &
-2wz+2xy &
2wy+2xz \\

2wz+2xy &
w^2 - x^2 + y^2 - z^2 &
-2wx+2yz \\

-2wy+2xz &
2wx+2yz &
w^2 - x^2- y^2+ z^2
\end{pmatrix}
{}=\begin{pmatrix}
1-2(y^2 + z^2) &
-2wz+2xy &
2wy+2xz \\

2wz+2xy &
1-2(x^2 + z^2) &
-2wx+2yz \\

-2wy+2xz &
2wx+2yz &
1-2(x^2 + y^2)
\end{pmatrix}.

A mátrixból a kvaterniók meghatározásához elég a forgatás tengelyét és szögét megadni, és a trigonometrikus képletbe behelyettesíteni.

Kapcsolat az Euler-szögekkel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az Euler-szögekre különféle konvenciók vannak. Itt azokat a forgatásokat tekintjük, amik megkaphatók úgy, hogy először a z tengely körül \Phi, utána az új x tengely körül \Theta, végül az új z tengely körül \Psi szöggel forgatva kapunk. Az egyes forgatások rendre a

\cos\frac\Phi2+\mathrm k\cdot\sin\frac\Phi2,\quad \cos\frac\Theta2+\mathrm i\cdot\sin\frac\Theta2,\quad \cos\frac\Psi2+\mathrm k\cdot\sin\frac\Psi2,

kvaternióknak felelnek meg.

Mivel az elforgatott tengelyt forgatjuk, a szorzás sorrendje fordított:

\left(\cos\frac\Phi2+\mathrm k\cdot\sin\frac\Phi2\right)\left(\cos\frac\Theta2+\mathrm i\cdot\sin\frac\Theta2\right)\left(\cos\frac\Psi2+\mathrm k\cdot\sin\frac\Psi2\right)
{}=\cos\frac\Phi2\cos\frac\Theta2\cos\frac\Psi2-\sin\frac\Phi2\cos\frac\Theta2\sin\frac\Psi2
{}+\mathrm i\cdot\left(\cos\frac\Phi2\sin\frac\Theta2\cos\frac\Psi2+\sin\frac\Phi2\sin\frac\Theta2\sin\frac\Psi2\right)
{}+\mathrm j\cdot\left(-\cos\frac\Phi2\sin\frac\Theta2\sin\frac\Psi2+\sin\frac\Phi2\sin\frac\Theta2\cos\frac\Psi2\right)
{}+\mathrm k\cdot\left(\sin\frac\Phi2\cos\frac\Theta2\cos\frac\Psi2+\cos\frac\Phi2\cos\frac\Theta2\sin\frac\Psi2\right).

Hasonlók adódnak más konvenciók esetén is.

A forgáscsoport univerzális fedése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az q\mapsto\rho_q leképezés művelettartó (homomorfizmus) az egységkvaterniók csoportjából az SO(3) forgatáscsoportba; az egységkvaterniókat azonosítva az \mathrm{SU}(2) generátoraival egy

\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(3).

homomorfizmust kapunk.

Ez egy kétrétegű fedés, aminek magja a \{\pm1\} centrum. A fedés univerzális, hiszen \mathrm{SU}(2)\cong S^3 egyszeresen összefüggő. Spincsoportnak is nevezik, és \mathrm{Spin}(3)-mal is jelölik, és szorosan kapcsolódik a fizikai spinhez. Az \mathrm{SU}(2)\mathbb C^2 leképezés egy úgynevezett spinorábrázolás, azaz egy olyan ábrázolás, amiben a négyzetes mátrixok mérete páros. Három báziskvaternió, i, j és k az SU(2) három hermitikus generáló mátrixának, a Pauli-mátrixoknak felel meg:

\sigma_x :=\begin{pmatrix} 0, 1\\ 1, 0\end{pmatrix} ,    \sigma_y :=\begin{pmatrix} 0, -i\\ +i, 0\end{pmatrix} ,    \sigma_z :=\begin{pmatrix}+1, 0\\ 0, -1\end{pmatrix} 

Így függ össze a két alaptétel:

i = σx/i, j = σy/i és k = σz/i,

ahol i a komplex képzetes egység, így az elméleti fizikából ismert σxσy= iσz kapcsolat éppen az i \cdot j=k relációnak felel meg. A σ-mátrixok hermitikus voltuk miatt mérhető mennyiségekként jöhetnek szóba a kvantummechanikában, ellentétben a i, j és a k báziskvaterniókkal, ami fontos a kvantummechanika matematikai modellezésében. Közelebbről \mathrm{SU(2)}\equiv\{ \exp(i\frac{1}{2}\vec\alpha\cdot\vec\sigma)\}, aminek valós vektorkoordinátái αx, αy és αz. Az 1/2 szorzónak többek között az a hatása,hogy a spinorok a vektorokkal ellentétben nem kerülnek vissza alaphelyzetükbe 2π-vel  (=360 fokkal) elforgatva, hanem csak annak kétszerese után.

A négydimenziós tér ortogonális leképezései[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A háromdimenziós esethez hasonlóan \mathbb H minden irányítástartó hasonlósági transzformációja felírható, mint:

\rho_{a,b}\colon x\mapsto ax\bar b

az a,b egységkvaterniókkal.

Teljesül, hogy:

\rho_{a_1,b_1}\circ\rho_{a_2,b_2}=\rho_{a_1a_2,b_1b_2}\quad\mathrm{und}\quad\rho_{\bar a,\bar b}=\rho_{a,b}^{-1}.

Ez a konstrukció fedést ad:

\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(4)

aminek magja \{(1,1),(-1,-1)\}.

A kvaterniók algebrája[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Izomorfia erejéig három véges dimenziós asszociatív algebra van a valós számok felett: saját maga, algebrai lezártja, és a felette vett kvaterniók.[1]

\mathbb H centruma \R, ezért definiálható rajta redukált norma és redukált nyom:

\mathrm{Nrd}(x)=|x|^2\quadés \quad\mathrm{Trd}(x)=2\cdot\mathrm{Re}\,x

A valós számokról a komplex számokra áttérve a kvaterniók algebrája mátrixalgebrává válik:

\mathbb H\otimes_\mathbb R\mathbb C\cong M_2(\mathbb C).

A tenzorszorzat \mathbb C faktorra vett komplex konjugáció involúciót szolgáltat a mátrixalgebrában, aminek invariánsai egy \mathbb H-val izomorf algebrát alkotnak.

Az

A\mapsto w\bar Aw^{-1}, ahol az w=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}

involúció megfelel a kvaterniók fenti mátrixmodelljének.

A kvaterniók algebrája egy negatív definit szimmetrikus kvadratikus alakkal ellátott \R^2 Clifford-algebrájának tekinthető.

Alkalmazásai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kvaterniók legfontosabb haszna, hogy a tisztán képzetes (azaz a valós része, az 'a' komponens 0) számokkal leírható a háromdimenziós vektortér. A kvaterniókat a háromdimenziós mozgásokkal való szoros kapcsolata miatt felhasználják robotok vezérlésénél.

A kvaterniókat CAD programok is felhasználják[2] a térbeli elforgatások kezelésére és az elforgatás tengelyének és szögének tárolására, ugyanis egy kvaternióhoz csak 4 lebegőpontos adatot kell tárolni (a tengellyel együtt), szemben az elforgatási mátrix 3×3 elemével és az elforgatás tengelyéhez szükséges további 3 elemmel. A kvaternió könnyedén átalakítható elforgatási mátrix alakba, és a kvaterniókkal való számítások gyakran kevesebb műveletet igényelnek, mint a vektoros–mátrixos számítások.[3] Kvaterniókat alkalmaz pl. a MicroStation CAD program.[4]

Négynégyzetszám-tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen

x_1=a_1+b_1\cdot\mathrm i+c_1\cdot\mathrm j+d_1\cdot\mathrm k\quad és \quad x_2=a_2+b_2\cdot\mathrm i+c_2\cdot\mathrm j+d_2\cdot\mathrm k

Az

|x_1|^2\cdot|x_2|^2=|x_1x_2|^2

egyenlőségből adódik a tisztán valós azonosság:

(a_1^2+b_1^2+c_1^2+d_1^2)(a_2^2+b_2^2+c_2^2+d_2^2)
{}=(a_1a_2-b_1b_2-c_1c_2-d_1d_2)^2+(a_1b_2+b_1a_2+c_1d_2-d_1c_2)^2\,
{}+(a_1c_2-b_1d_2+c_1a_2+d_1b_2)^2+(a_1d_2+b_1c_2-c_1b_2+d_1a_2)^2.\,

Ha az összes szám egész, akkor ez az egyenlőség azt állítja, hogy két, négy négyzetszám összegeként felírható szám szorzata szintén felírható négy négyzetszám összegeként.

A négynégyzetszám-tétel szerint minden természetes szám felírható négy négyzetszám összegeként. Az előző állítás szerint elég a tételt a prímszámokra belátni. Ez alapján ezt az utóbbit is nevezik négynégyzetszám-tételnek.

Rokon témák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kvaterniókhoz hasonló konstrukciókat hiperkomplex számoknak is nevezik. A Cayley-számok a kvaterniók nyolcdimenziós analogonjai. Az ő körükben a szorzás se nem kommutatív, se nem asszociatív. A Cayley-számok szorzása alternatív:

a \cdot ( a \cdot b ) = ( a \cdot a ) \cdot b és a \cdot ( b \cdot b ) = ( a \cdot b ) \cdot b minden a, b Cayley-számra.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Corollary 6.8 in Chapter iX von Hungerford: Algebra (Springer 1974)
  2. Marsh Duncan: Applied geometry for computer graphics and CAD (angol nyelven) pp. 56-65. Springer, 2005
  3. Quaternions and spatial rotation (angol nyelven) (wiki). Wikipedia, 2013 A kvaterniók és a térbeli elforgatás, A teljesítmény összehasonlítása
  4. Intergraph Standard File Formats (Element Structure) / Quaternion (3D) (angol nyelven). Intergraph, 2001 Intergraph és MicroStation szabványos adatformátumok