Pauli-mátrixok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Pauli-mátrixoknak nevezzük (Wolfgang Pauli után) az alábbi három mátrixot:

\sigma_x=
\left(\begin{matrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{matrix}\right)

\sigma_y=
\left(\begin{matrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{matrix}\right)

\sigma_z=
\left(\begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{matrix}\right)

A Pauli-mátrixok a 2x2-es, hermitikus, 0 nyomú mátrixok 3 dimenziós valós vektorterének egy bázisát alkotják.

Algebrai tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Pauli mátrixok szorzata[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\sigma^2_x=\sigma^2_y=\sigma^2_z=I

\sigma_x\sigma_y=i\sigma_z

\sigma_y\sigma_z=i\sigma_x

\sigma_z\sigma_y=i\sigma_y

Tr (\sigma_i \sigma_j)=2 \delta_{ij} \qquad (i,j \in\{x,y,z\})

\sigma_x*\sigma_y-\sigma_y*\sigma_x=2i\sigma_z

\sigma_y*\sigma_z-\sigma_z*\sigma_y=2i\sigma_x

\sigma_z*\sigma_x-\sigma_x*\sigma_z=2i\sigma_y

Determináns, nyom, sajátérték[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Pauli-mátrixok nyoma és determinánsa:

\begin{matrix}
\det (\sigma_i) &=& -1 & \\[1ex]
\operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & \quad \hbox{ha}\ i = 1, 2, 3.
\end{matrix}

Ebből következik, hogy +1 és -1 sajátértéke az összes Pauli-mátrixnak.

Így

\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = i\mathbf{1}

Forgáscsoport[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Pauli-mátrixok Lie-algebrát alkotnak a mátrixszorzásra.

Az

\exp\left(-\mathrm i\,\frac{\alpha}{2}\mathbf \sigma\,\cdot  \mathbf n\right) 
= \cos\frac{\alpha}{2}\mathbf{1} - \mathrm i \sin\frac{\alpha}{2} \sigma\,\cdot  \mathbf n

azonosság[1] szerint a Pauli-mátrixok a komplex \text{SU}(2) forgáscsoport generátorai, ahol n a forgástengely irányvektora \mathbb R^3-ben, és α a forgatás szöge, ami 0 és 4π között változhat. α = 2π-re \exp\left(-\mathrm i\,\pi\mathbf \sigma\,\cdot  \mathbf n\right) = -\mathbf 1 adódik. Így egy 1/2 spin csak egy 4π szögű forgatással reprodukálható.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Charles Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler: Gravitation. S. 1142, W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0