Euler-szögek

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az Euler-szögeket Leonhard Euler vezette be abból a célból, hogy leírja egy merev test helyzetét egy euklideszi térben rögzített háromdimenziós koordináta-rendszerhez képest. Egy geometriai objektum tetszőleges térbeli helyzetbe hozásához három egymás után következő forgatás szükséges, melyet az Euler-szögek írnak le. Ez ekvivalens azzal az állítással, hogy a rotációs mátrix felbontható három elemi forgatásmátrix szorzatára.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Euler-szögek - Az xyz (rögzített) koordináta-rendszer kék, az XYZ (elforgatott) koordináta*rendszer piros. Az xy és XY sík N-el jelölt metszésvonala (a csomóvonal) zöld.

Az Euler-szögek egy tetszőleges koordináta-rendszer térbeli helyzetét jelölik egy rögzített koordináta-rendszerhez képest. Az alábbiakban a rögzített koordináta-rendszert kis betűkkel (x,y,z), az elforgatott koordináta-rendszert pedig nagy betűkkel (X,Y,Z) jelöljük. Az xy és XY síkok metszésvonala az úgynevezett csomóvonal, jelölése N.

Az Euler-szögek:

  • α az x tengely és az N csomóvonal közötti szög.
  • β a z tengely és a Z tengely közötti szög.
  • γ az X tengely és az N csomóvonal közötti szög.

Ezt a definíciót z-x-z konvenciónak hívják ls csak egyike a lehetséges konvencióknak. A másik kettő az x-y-z és a z-y-x. Sajnos a szögek megadási sorrendjében és a tengelyek jelölésében, melyek között a szögeket mérik, soha nem alakult ki egységes gyakorlat. Ezért az Euler-szögek használatakor célszerű megadni a szögek sorrendjét és azokat a koordinátatengelyeket, melyek körül a forgatások történnek.

Szögtartományok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • α és γ 2π radián szögtartományban mozoghat. Érvényes tartomány lehet [-π, π].
  • β szögtartománya π radián. Például [0, π] vagy [-π/2, π/2] lehet. Az α, β és γ szögek függetlenek, kivéve azt az esetet, amikor az xy és az XY sík egybeesik és a z tengely valamint a Z tengely egyirányú vagy ellenkező irányú.

Ha a z tengely és a Z tengely egybeesik, β = 0 és csak (α+γ) független (nem külön-külön α és γ), hasonlóképpen, ha a két tengely egybeesik, de ellenkező irányú, β = π és csak (α-γ) független. Ilyen esetben a kardáncsukló zárt.

Mátrixos jelölés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Fájl:Euler stereo3.svg
Az Euler-szögek sztereo ábrázolásban.
Az Euler-szögek anaglif ábrázolásban
Háromcsuklós z-x-z-kardáncsukló Euler-szögei. A rögzített koordináta-rendszer 'x' és 'y' tengelye nincs jelölve. Az 'Y' tengelyek merőlegesek mindegyik gyűrűre.

Adott \scriptstyle{\alpha}, \scriptstyle{\beta} és \scriptstyle{\gamma} Euler-szögekhez a z-x-z konvenció szerint egy mátrixot lehet rendelni, mely a rögzített koordináta-rendszer minden egyes vektorát transzformálni tudja az elforgatott koordináta-rendszerbe.

Definiáljunk három közös origójú közbenső koordináta-rendszert, melyek mindegyike az előzőtől egy elemi forgatásban különbözik, ugyanúgy, mintha egy kardáncsuklóhoz volna kötve. Így minden véghelyzetet három egyszerű forgatással lehet előállítani: az első két forgatás meghatározza az új Z tengelyt, a harmadik forgatás pedig az összes lehetséges helyzetet megadja, melyet ez a Z tengely lehetővé tesz. Ezeket a koordináta-rendszereket a rögzített koordináta-rendszer, az elforgatott koordináta-rendszer és a csomóvonal segítségével lehet definiálni.

A végeredmény mátrixos alakját a három egyszerű forgatást megvalósító mátrix szorzataként kaphatjuk:

[\mathbf{R}] = \begin{bmatrix}
\cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\
\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \beta & -\sin \beta \\
0 & \sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\
\sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

ahol

  • a bal oldali mátrix az eredeti rögzített koordináta-rendszer ' z ' tengelye körüli forgatást jelöli,
  • a középső mátrix a közbenső ' x ' tengely (ez a csomóvonal) körüli forgatást jelöli,
  • a jobb oldali mátrix a végső koordináta-rendszer ' Z ' tengelye körüli forgatást jelöli.

A mátrixszorzásokat végrehajtva, valamint a szinusz és koszinusz függvényeket s-el és c-vel jelölve kapjuk:

[\mathbf{R}] = \begin{bmatrix}
 \mathrm{c}_\alpha \, \mathrm{c}_\gamma - \mathrm{s}_\alpha \, \mathrm{c}_\beta \, \mathrm{s}_\gamma &
-\mathrm{c}_\alpha \, \mathrm{s}_\gamma - \mathrm{s}_\alpha \, \mathrm{c}_\beta \, \mathrm{c}_\gamma &  
 \mathrm{s}_\beta  \, \mathrm{s}_\alpha \\ 
 \mathrm{s}_\alpha \, \mathrm{c}_\gamma + \mathrm{c}_\alpha \, \mathrm{c}_\beta \, \mathrm{s}_\gamma &
-\mathrm{s}_\alpha \, \mathrm{s}_\gamma + \mathrm{c}_\alpha \, \mathrm{c}_\beta \, \mathrm{c}_\gamma &  
-\mathrm{s}_\beta  \, \mathrm{c}_\alpha  \\
 \mathrm{s}_\beta  \, \mathrm{s}_\gamma &
 \mathrm{s}_\beta  \, \mathrm{c}_\gamma &  
 \mathrm{c}_\beta
\end{bmatrix}
.

Az Euler-szögek és a fizikai mozgások kapcsolata[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Föld Euler-forgásai. Saját tengely körüli forgás (zöld), precesszió (kék) és nutáció (piros).
Egy pörgettyűkeret precessziója. A keret második és harmadik Euler-szöge változatlan.

Euler-forgásnak nevezik azt a mozgást, melynek során valamelyik Euler-szög változik a másik kettő állandó értéken maradása mellett. Az első Euler-forgás a csomóvonalat fordítja el a rögzített z tengely körül (γ), a második a csomóvonal körül forgat (β) és a harmadik a mozgó test saját tengelye körüli forgás (α).

Ezek a forgások a precesszió, nutáció és saját tengely körüli forgás. Ha egy testhez rögzített koordináta-rendszer egybeesik az álló xyz koordináta-rendszerrel, a három Euler szöggel való elforgatással a test helyzete egybe fog esni az XYZ koordináta-rendszerrel. Ha az α, β, és γ Euler-szög véges nagyságú, az elfordítások sorrendje nem felcserélhető, elemi dα, dβ, és dγ Euler-szögek esetén a sorrend közömbös.

Alkalmazása a klasszikus mechanikában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az Euler-szögeket a klasszikus mechanikában a merev testek mozgásának leírására használják. Merev testek estén az xyz koordináta-rendszer a térben álló koordináta-rendszer, az XYZ a testtel együtt mozgó koordináta-rendszer. A térben álló koordináta-rendszert mozdulatlannak tekintik, a testtel együtt mozgó koordináta-rendszert pedig a mozgó testhez rögzítettnek veszik. A mozgási energiával kapcsolatos számítások általában egyszerűbbek a mozgó koordináta-rendszerben, mert ekkor a tehetetlenségi tenzor nem változik az idő függvényében. Ha a merev test tehetetlenségi tenzorát diagonizáljuk, olyan koordináta-rendszert kapunk (ezeket a koordinátatengelyeket tehetetlenségi főtengelyeknek nevezik), melynél a tehetetlenségi tenzornak csak a főátlóbeli elemei zérustól különbözőek.

A szögsebesség a testhez rögzített koordináta-rendszerben az Euler-szögek segítségével egyszerű alakba írható:

(\dot\alpha\sin\beta\sin\gamma+\dot\beta\cos\gamma){\bold I}
      +(\dot\alpha\sin\beta\cos\gamma-\dot\beta\sin\gamma){\bold J}
      +(\dot\alpha\cos\beta+\dot\gamma){\bold K},

ahol IJK az XYZ koordináta-rendszer tengelyei irányába eső egységvektorok.

Itt a forgatási sorrend 3-1-3 (vagy Z-X-Z a fenti konvenciót használva).

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Muttnyánszky Ádám: Kinematika és kinetika. Tankönyvkiadó, Budapest 1957.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Euler-szögek témájú médiaállományokat.