Kommutátor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen A és B egy olyan matematikai struktúra két eleme, melyben a szorzás és a kivonás is értelmezve van. Ekkor A és B kommutátorán a kétféle sorrendű szorzatuk különbségét értjük:

 [A,B] := AB-BA\,.

Ha valamely A és B elemekre [A,B]=AB-BA=0, akkor azt mondjuk, hogy A és B felcserélhető, vagy kommutál. Ha valamely S struktúra minden A,B elemére [A,B]=AB-BA=0, akkor azt mondjuk, hogy az S struktúra kommutatív.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Az egész, racionális, valós és komplex számok szorzása kommutatív, azaz tetszőleges \alpha és \beta számok esetén \alpha\beta=\beta\alpha, így a kommutátor eltűnik.
  2. A funkcionálanalízisben (illetve annak kvantummechanikai alkalmazásában) nagy jelentőségű az operátorok kommutátora. Legyen H valamilyen vektortér, és A,B ennek operátorai (azaz önmagára való lineáris leképezései). Ekkor a szorzás a leképezések egymásutáni alkalmazása. A két operátor felcserélhetősége azt jelenti, hogy a H vektortér minden x elemére ABx=BAx. Az operátorok szorzása általában nem kommutatív.
  3. A véges dimenziós vektorterek operátorai (bázis választásával) mátrixokkal reprezentálhatók. A mátrixok szorzása szintén nem kommutatív.