Lie-algebra

A Lie-algebrák algebrai struktúrák, melyek főleg geometriai objektumok, mint például differenciálható sokaságok és Lie-csoportok vizsgálatánál hasznosak. Eredetileg az infinitesszimális transzformációk vizsgálatánál használták őket. A Lie-algebra elnevezést Hermann Weyl vezette be az 1930-as években Sophus Lie /liː/ után. Régebbi szövegekben még az ,,infinitesszimális csoport" elnevezés is szerepelhet.

Definíció

Adott egy V vektortér valamely F test felett és egy kétváltozós művelet [., .]

$[., .] : V \times V \to V$

melyet kommutátornak vagy Lie-zárójelnek is neveznek és eleget tesz a következő tulajdonságoknak:

• Bilinearitás

$[a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y]$

minden a, b skalárra és minden x, y, z vektorra.

• Antikommutativitás vagy ferde szimmetria

$[x,y]=-[y,x]\,$

minden x, y vektorra. Ha F karakterisztikája kettő, akkor egy szigorúbb feltételre is szükség van:

$[x,x]=0$

minden $x \in V$ vektorra.

• A Jacobi-azonosság

$[x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 \quad$

minden x, y, z vektorra.

Ha A asszociatív algebra, akkor konstruálható hozzá egy L(A) Lie-algebra. Vegyük A-t, mint vektorteret, és lássuk el a

$[a,b]=a * b-b * a.\$

Lie-zárójellel, ahol * az A-beli szorzást jelöli. Ennek asszociatív voltából következnek a Lie-zárójel fent említett tulajdonságai. Nevezetesen, egy F-fel jelölt test fölötti n × n-es mátrixok a $\mathfrak{gl}_n(F)$ általános lineáris algebrát adják. Ismert, hogy minden Lie-algebra beágyazható egy asszociatív algebrából származtatható Lie-algebrába.

Homomorfizmusok, részalgebrák és ideálok

A Lie-zárójel nem asszociatív, vagyis $[[x,y],z]$ nem mindig egyenlő $[x,[y,z]]$-vel. A terminológia mégis egyezik az asszociatív gyűrűk, vagy algebrák esetével. Egy $U \subseteq V$ altér Lie-részalgebra, ha zárt a Lie-zárójelre. Ha egy $I\subseteq V$ eleget tesz a

$[V,I]\subseteq I,$

feltételnek, akkor I ideál V-ben. Az antikommutativitás miatt ugyanazok lesznek a jobb- illetve a balideálok, ezért csak ideálokról beszélünk.

Egy Lie-algebra egyszerű, ha benne a kommutátor nem azonosan nulla, és nincsenek valódi ideáljai. Ugyanazon test fölötti Lie-algebrák közötti homomorfizmus egy olyan lineáris leképezés, ami illeszkedik a Lie-zárójelhez:

$f: V\to V', \quad f([x,y])=[f(x),f(y)],$

minden x, y eleme V-re. A homomorfizmusok magjai éppen az ideálok. Ha I ideál a V Lie-algebrában, akkor képezhető a V/I faktoralgebra, és teljesül az első izomorfizmustétel. Két Lie-algebra, V és V' direkt összege $V\oplus V'$, ahol a direkt összeg elemei az $\mathfrak{}(x,x'), \,x\in V, x'\in V'$ párok, és a Lie-zárójel:

$[(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']), \quad x,y\in V,\, x',y'\in V'.$

Példák

• Egy vektorteret az azonosan nulla Lie-zárójellel ellátva Lie-algebrához jutunk. Ezek a Lie-algebrák Abel-félék. Az egy dimenziós Lie-algebrák mind Abel-félék.
• A három dimenziós euklidészi tér a vektoriális szorzással Lie-csoport.
• A Heisenberg-algebra szintén három dimenziós Lie-algebra, aminek generátorai:

$x = \left( \begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{array}\right),\quad y = \left( \begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{array}\right),\quad z = \left( \begin{array}{ccc} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{array}\right),\quad$

és a generátorok kommutátorai:

$[x,y]=z,\quad [x,z]=0, \quad [y,z]=0.\,$

Ez a szigorúan felső háromszögmátrixok Lie-algebrája.

• A $\mathfrak{gl}_n(F)$ általános lineáris algebra részalgebrája azokat a mátrixokat tartalmazza, amiknek a nyoma nulla.
• Minden Lie-csoport, G definiál egy hozzá tartozó $V=\mbox{Lie}(G)$ Lie-algebrát. Valós test fölötti mátrixok esetén ez a mátrixok exponenciális leképezésének felhasználásával definiálható.

A $V$ Lie-algebrát azok az X mátrixok alkotják, amik előállnak, mint:

$\exp(tX)\in G\,$

minden valós t-re. A $V$ Lie-algebra Lie-zárójelét a mátrixok kommutátora adja.

Konkrét példaként vegyük az SL(n,R) speciális lineáris csoportot, ami az 1 determinánsú n × n-es, valós számok fölötti mátrixok alkotnak. Ez egy Lie-csoport, ami azt a Lie-algebrát adja, ami a 0 nyomú n × n-es, valós számok fölötti mátrixokból áll.

• Az n × n-es ferdén szimmetrikus mátrixok halmaza zárt a kommutátorképzésre, és valós Lie-algebrát alkot. Ez az $\mathfrak{u}(n)$ Lie-algebra az U(n) egységcsoport Lie-algebrája.

• A kvantummechanikában a perdület x, y, és z koordinátái közötti felcserélési reláció három dimenziós komplex Lie-algebrát alkot, ami az SO(3) három dimenziós forgatáscsoport komplex kiterjesztése:

$[L_x, L_y] = i \hbar L_z$

$[L_y, L_z] = i \hbar L_x$

$[L_z, L_x] = i \hbar L_y$

• A végtelen dimenziós Lie-algebrák egyik osztálya a differenciáltopológiából ered. Ha M differenciálható sokaság, akkor a rajta vett sima vektormezők Lie-algebrát adnak, ahol is a Lie-zárójel megegyezik a vektormezők kommutátorával. Jelölje f deriváltját az X irány mentén L_X(f)! Ekkor az [X,Y] Lie-zárójel:

$L_{[X,Y]}f=L_X(L_Y f)-L_Y(L_X f).\,$

Struktúraelmélet és osztályozás

Ado tétele szerint minden valós, vagy komplex véges dimenziós Lie-algebra ábrázolható mátrixokkal. Lie alaptétele összekapcsolja a Lie-csoportokat és a Lie-algebrákat: minden Lie-csoporthoz tartozik egy egyértelműen meghatározott Lie-algebra, de a Lie-algebra csak lokális izomorfia erejéig határozza meg a Lie-csoportot, feltéve, hogy az összefüggő. Például, az SO(3) speciális ortogonális csoport és az SU(2) speciális egységcsoport ugyanazt a Lie-algebrát adja. Ez izomorf a vektoriális szorzással ellátott három dimenziós valós vektortérrel. SU(2) egyszeresen összefüggő kétszeres fedése SO(3)-nak.

Abel, feloldható és nilpotens tulajdonságok

A csoportokhoz hasonlóan definiálhatók az Abel, a feloldható és a nilpotens tulajdonságok.

Egy V Lie-algebra Abel, ha a Lie-zárójel azonosan nulla, vagyois [x,y] = 0 minden x, y elemre. Ezek a kommutatív Lie-csoportokból származtathatók. Ilyenek az azonosan nulla lie-zárójellel ellátott vektorterek.

Egy Lie-algebra nilpotens, ha a kommutátorok minden véges sorozata eltűnik. Azaz:

$V > [V,V] > [[V,V],V] > [[[V,V],V],V] > \cdots$

egy idő után nullává válik. Engel tétele szerint egy Lie-algebra akkor és csak akkor nilpotens, ha u eleme V-re a

$\operatorname{ad}(u):V \to V, \quad \operatorname{ad}(u)v=[u,v]$

kísérő endomorfizmus nilpotens.

A feloldható Lie-algebrák egy még bővebb osztályt adnak. Egy Lie-algebra feloldható, ha a

$V > [V,V] > [[V,V],[V,V]] > [[[V,V],[V,V]],[[V,V],[V,V]]] > \cdots$

sorozatok egy idő után nullává válnak.

Minden véges dimenziós Lie-algebrának van egy legbővebb feloldható ideálja; ez a radikálja. A Lie-megfeleltetésben a nilpotens és a feloldható Lie-algebráknak rendre nilpotens és feloldható Lie-csoportok felelnek meg.

Egyszerű és féligegyszerű Lie-algebrák

Egy Lie-algebra egyszerű, ha nem Abel, és nincsenek nem triviális ideáljai. Féligegyszerű, ha a nullideálon kívül nincsenek Abel-féle ideáljai. Ekvivalensen, radikálja a nullideál. Egy egyszerű Lie-algebra féligegyszerű is. Megfordítva: belátható, hogy minden féligegyszerű Lie-algebra egyszerű minimális ideálok direkt összege.

A Lie-algebrák féligegyszerűsége kapcsolódik ábrázolásaik teljes reducibilitásához. Ha az alaptest karakterisztikája 0, a V Lie-algebra féligegyszerűsége ekvivsalens a véges dimenziós ábrázolások teljes reducibilitásával. Az állítás első bizonyításai kompakt csoportokat használtak, de később csak algebrai eszközökkel is belátták.

Klasszifikáció

A féligegyszerű és a feloldható Lie-algebrák a Lie-algebrák két véglete. Minden Lie-algebra felbontható feloldható radikáljának és egy féligegyszerű Lie-algebrának szemidirekt összegére. Az algebrailag zárt test fölötti féligegyszerű Lie-algebrákat már osztályozták, ellenben a feloldható Lie-algebrák osztályozása nehéz feladat.

A Cartan-kritérium feltételeket ad arra, hogy egy Lie-algebra mikor nilpotens, feloldható, vagy féligegyszerű. Az osztályozás egy, az adott Lie-algebrán definiált szimmetrikus kvadratikus alakon, a Killing-formán múlik:

$K(u,v)=\operatorname{tr}(\operatorname{ad}(u)\operatorname{ad}(v)),$

ahol a tr jel a nyom operátort jelöli. Egy V Lie-algebra akkor és csak akkor féligegyszerű, ha Killing-formája nem elfajult. Feloldható akkor és csak akkor, ha $K(V,[V,V])=0.$

Kategóriaelméleti definíció

A kategóriaelmélet nyelvén a Lie algebra egy A objektum a vektorterek kategóriájában a [.,.]: A ⊗ A → A morfizmussal, ahol

• $[\cdot, \cdot] \circ (\mathrm{id} + \tau_{A,A}) = 0$
• $[\cdot, \cdot] \circ ([\cdot, \cdot] \otimes \mathrm{id}) \circ (\mathrm{id} + \sigma + \sigma^2) = 0$

ahol τ (a ⊗ b) := b ⊗ a és σ ciklikus permutáció.

Diagramon:

Források

• Hall, Brian C. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, 2003. ISBN 0-387-40122-9
• Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
• Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
• Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
• Kac, Victor G. et al. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras, http://www-math.mit.edu/~lesha/745lec/
• O'Connor, J. J. & Robertson, E.F. Biography of Sophus Lie, MacTutor History of Mathematics Archive, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Lie.html
• O'Connor, J. J. & Robertson, E.F. Biography of Wilhelm Killing, MacTutor History of Mathematics Archive, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Killing.html
• Steeb, W.-H. Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and Computer Algebra, second edition, World Scientific, 2007, ISBN 978-981-270-809-0
• Varadarajan, V. S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, 1st edition, Springer, 2004. ISBN 0-387-90969-9

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Lie algebra című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.