Lie-algebra

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Lie-algebrák algebrai struktúrák, melyek főleg geometriai objektumok, mint például differenciálható sokaságok és Lie-csoportok vizsgálatánál hasznosak. Eredetileg az infinitesszimális transzformációk vizsgálatánál használták őket. A Lie-algebra elnevezést Hermann Weyl vezette be az 1930-as években Sophus Lie /liː/ után. Régebbi szövegekben még az ,,infinitesszimális csoport" elnevezés is szerepelhet.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Adott egy V vektortér valamely F test felett és egy kétváltozós művelet [., .]

[., .] : V \times V \to V

melyet kommutátornak vagy Lie-zárójelnek is neveznek és eleget tesz a következő tulajdonságoknak:

  • Bilinearitás
 [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y]
minden a, b skalárra és minden x, y, z vektorra.
 [x,y]=-[y,x]\,
minden x, y vektorra. Ha F karakterisztikája kettő, akkor egy szigorúbb feltételre is szükség van:
 [x,x]=0
minden x \in V vektorra.
  • A Jacobi-azonosság
 [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 \quad
minden x, y, z vektorra.

Ha A asszociatív algebra, akkor konstruálható hozzá egy L(A) Lie-algebra. Vegyük A-t, mint vektorteret, és lássuk el a

 [a,b]=a * b-b * a.\

Lie-zárójellel, ahol * az A-beli szorzást jelöli. Ennek asszociatív voltából következnek a Lie-zárójel fent említett tulajdonságai. Nevezetesen, egy F-fel jelölt test fölötti n × n-es mátrixok a \mathfrak{gl}_n(F) általános lineáris algebrát adják. Ismert, hogy minden Lie-algebra beágyazható egy asszociatív algebrából származtatható Lie-algebrába.

Homomorfizmusok, részalgebrák és ideálok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Lie-zárójel nem asszociatív, vagyis [[x,y],z] nem mindig egyenlő [x,[y,z]]-vel. A terminológia mégis egyezik az asszociatív gyűrűk, vagy algebrák esetével. Egy U \subseteq V altér Lie-részalgebra, ha zárt a Lie-zárójelre. Ha egy I\subseteq V eleget tesz a

[V,I]\subseteq I,

feltételnek, akkor I ideál V-ben. Az antikommutativitás miatt ugyanazok lesznek a jobb- illetve a balideálok, ezért csak ideálokról beszélünk.

Egy Lie-algebra egyszerű, ha benne a kommutátor nem azonosan nulla, és nincsenek valódi ideáljai. Ugyanazon test fölötti Lie-algebrák közötti homomorfizmus egy olyan lineáris leképezés, ami illeszkedik a Lie-zárójelhez:

 f: V\to V', \quad f([x,y])=[f(x),f(y)],

minden x, y eleme V-re. A homomorfizmusok magjai éppen az ideálok. Ha I ideál a V Lie-algebrában, akkor képezhető a V/I faktoralgebra, és teljesül az első izomorfizmustétel. Két Lie-algebra, V és V' direkt összege V\oplus V', ahol a direkt összeg elemei az \mathfrak{}(x,x'), \,x\in V, x'\in V' párok, és a Lie-zárójel:

 [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']), \quad x,y\in V,\, x',y'\in V'.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Egy vektorteret az azonosan nulla Lie-zárójellel ellátva Lie-algebrához jutunk. Ezek a Lie-algebrák Abel-félék. Az egydimenziós Lie-algebrák mind Abel-félék.
  • A háromdimenziós euklideszi tér a vektoriális szorzással Lie-csoport.
  • A Heisenberg-algebra szintén háromdimenziós Lie-algebra, aminek generátorai:

x = \left( \begin{array}{ccc}
0&1&0\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right),\quad
y = \left( \begin{array}{ccc}
0&0&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{array}\right),\quad
z = \left( \begin{array}{ccc}
0&0&1\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right),\quad

és a generátorok kommutátorai:

[x,y]=z,\quad [x,z]=0, \quad [y,z]=0.\,

Ez a szigorúan felső háromszögmátrixok Lie-algebrája.

  • A \mathfrak{gl}_n(F) általános lineáris algebra részalgebrája azokat a mátrixokat tartalmazza, amiknek a nyoma nulla.
  • Minden Lie-csoport, G definiál egy hozzá tartozó V=\mbox{Lie}(G) Lie-algebrát. Valós test fölötti mátrixok esetén ez a mátrixok exponenciális leképezésének felhasználásával definiálható.

A V Lie-algebrát azok az X mátrixok alkotják, amik előállnak, mint:

\exp(tX)\in G\,
minden valós t-re. A V Lie-algebra Lie-zárójelét a mátrixok kommutátora adja.
Konkrét példaként vegyük az SL(n,R) speciális lineáris csoportot, ami az 1 determinánsú n × n-es, valós számok fölötti mátrixok alkotnak. Ez egy Lie-csoport, ami azt a Lie-algebrát adja, ami a 0 nyomú n × n-es, valós számok fölötti mátrixokból áll.
  • Az n × n-es ferdén szimmetrikus mátrixok halmaza zárt a kommutátorképzésre, és valós Lie-algebrát alkot. Ez az \mathfrak{u}(n) Lie-algebra az U(n) egységcsoport Lie-algebrája.
  • A kvantummechanikában a perdület x, y, és z koordinátái közötti felcserélési reláció háromdimenziós komplex Lie-algebrát alkot, ami az SO(3) háromdimenziós forgatáscsoport komplex kiterjesztése:
[L_x, L_y] = i \hbar L_z
[L_y, L_z] = i \hbar L_x
[L_z, L_x] = i \hbar L_y
  • A végtelen dimenziós Lie-algebrák egyik osztálya a differenciáltopológiából ered. Ha M differenciálható sokaság, akkor a rajta vett sima vektormezők Lie-algebrát adnak, ahol is a Lie-zárójel megegyezik a vektormezők kommutátorával. Jelölje f deriváltját az X irány mentén LX(f)! Ekkor az [X,Y] Lie-zárójel:
 L_{[X,Y]}f=L_X(L_Y f)-L_Y(L_X f).\,

Struktúraelmélet és osztályozás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ado tétele szerint minden valós, vagy komplex véges dimenziós Lie-algebra ábrázolható mátrixokkal. Lie alaptétele összekapcsolja a Lie-csoportokat és a Lie-algebrákat: minden Lie-csoporthoz tartozik egy egyértelműen meghatározott Lie-algebra, de a Lie-algebra csak lokális izomorfia erejéig határozza meg a Lie-csoportot, feltéve, hogy az összefüggő. Például, az SO(3) speciális ortogonális csoport és az SU(2) speciális egységcsoport ugyanazt a Lie-algebrát adja. Ez izomorf a vektoriális szorzással ellátott háromdimenziós valós vektortérrel. SU(2) egyszeresen összefüggő kétszeres fedése SO(3)-nak.

Abel, feloldható és nilpotens tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A csoportokhoz hasonlóan definiálhatók az Abel, a feloldható és a nilpotens tulajdonságok.

Egy V Lie-algebra Abel, ha a Lie-zárójel azonosan nulla, vagyis [x,y] = 0 minden x, y elemre. Ezek a kommutatív Lie-csoportokból származtathatók. Ilyenek az azonosan nulla Lie-zárójellel ellátott vektorterek.

Egy Lie-algebra nilpotens, ha a kommutátorok minden véges sorozata eltűnik. Azaz:

 V > [V,V] > [[V,V],V] > [[[V,V],V],V] > \cdots

egy idő után nullává válik. Engel tétele szerint egy Lie-algebra akkor és csak akkor nilpotens, ha u eleme V-re a

\operatorname{ad}(u):V \to V, \quad \operatorname{ad}(u)v=[u,v]

kísérő endomorfizmus nilpotens.

A feloldható Lie-algebrák egy még bővebb osztályt adnak. Egy Lie-algebra feloldható, ha a

 V > [V,V] > [[V,V],[V,V]] > [[[V,V],[V,V]],[[V,V],[V,V]]] > \cdots

sorozatok egy idő után nullává válnak.

Minden véges dimenziós Lie-algebrának van egy legbővebb feloldható ideálja; ez a radikálja. A Lie-megfeleltetésben a nilpotens és a feloldható Lie-algebráknak rendre nilpotens és feloldható Lie-csoportok felelnek meg.

Egyszerű és féligegyszerű Lie-algebrák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy Lie-algebra egyszerű, ha nem Abel, és nincsenek nem triviális ideáljai. Féligegyszerű, ha a nullideálon kívül nincsenek Abel-féle ideáljai. Ekvivalensen, radikálja a nullideál. Egy egyszerű Lie-algebra féligegyszerű is. Megfordítva: belátható, hogy minden féligegyszerű Lie-algebra egyszerű minimális ideálok direkt összege.

A Lie-algebrák féligegyszerűsége kapcsolódik ábrázolásaik teljes reducibilitásához. Ha az alaptest karakterisztikája 0, a V Lie-algebra féligegyszerűsége ekvivalens a véges dimenziós ábrázolások teljes reducibilitásával. Az állítás első bizonyításai kompakt csoportokat használtak, de később csak algebrai eszközökkel is belátták.

Klasszifikáció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A féligegyszerű és a feloldható Lie-algebrák a Lie-algebrák két véglete. Minden Lie-algebra felbontható feloldható radikáljának és egy féligegyszerű Lie-algebrának szemidirekt összegére. Az algebrailag zárt test fölötti féligegyszerű Lie-algebrákat már osztályozták, ellenben a feloldható Lie-algebrák osztályozása nehéz feladat.

A Cartan-kritérium feltételeket ad arra, hogy egy Lie-algebra mikor nilpotens, feloldható, vagy féligegyszerű. Az osztályozás egy, az adott Lie-algebrán definiált szimmetrikus kvadratikus alakon, a Killing-formán múlik:

K(u,v)=\operatorname{tr}(\operatorname{ad}(u)\operatorname{ad}(v)),

ahol a tr jel a nyom operátort jelöli. Egy V Lie-algebra akkor és csak akkor féligegyszerű, ha Killing-formája nem elfajult. Feloldható akkor és csak akkor, ha K(V,[V,V])=0.

Kategóriaelméleti definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kategóriaelmélet nyelvén a Lie algebra egy A objektum a vektorterek kategóriájában a [.,.]: AAA morfizmussal, ahol

  • [\cdot, \cdot] \circ (\mathrm{id} + \tau_{A,A}) = 0
  • [\cdot, \cdot] \circ ([\cdot, \cdot] \otimes \mathrm{id}) \circ (\mathrm{id} + \sigma + \sigma^2) = 0

ahol τ (ab) := ba és σ ciklikus permutáció.

Diagramon:

Liealgebra.png

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Fordítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Lie algebra című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.