Laplace-operátor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Laplace-operátor (jele: Δ) a több dimenziós analízis fontos differenciáloperátora, ami megadja egy több dimenziós függvény tiszta második deriváltjainak összegét.

Általában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Skalármező Laplace-operátora:

\Delta f = \operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\,f\right)

Vektormezőre:

\Delta\vec A = \operatorname{grad}\left(\operatorname{div}\,\vec A \right) - \operatorname{rot}\left( \operatorname{rot}\,\vec A \right)

A div, rot és grad divergencia, rotáció és gradiens invarianciája miatt ez a definíció független a koordináta-rendszertől. Ha a Laplace-operátort skalármezőre alkalmazzák, akkor skalármezőt ad. Vektormezőre alkalmazva vektormezőt eredményez. n koordinátavektorra a Laplace-operátor így néz ki:

\Delta=\vec\nabla^2= \sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}.

a definíció alapján.

Ahol \vec\nabla a nabla operátor.

Más koordináta-rendszerekben más alakja van; kiszámításához transzformálni kell a derékszögű koordináta-rendszert.

Egy dimenzióban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy dimenzióban a Laplace-operátor a második deriváltra redukálódik. Az egyváltozós f(x) függvényre tehát formálisan felírható a következő egyenlet:


\Delta f(x) = \frac{d^2 f(x)}{dx^2}
.

Két dimenzióban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az f(x,y) kétváltozós függvényre alkalmazva a Laplace-operátort:

derékszögű koordinátákban:

\Delta f(x,y) =
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}

polárkoordinátákban:

\Delta f(r, \phi ) =
\frac{\partial^2 f}{\partial r^2} +
\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r} +
\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}

vagy

\Delta f(r, \phi ) =
\frac{1}{r}\cdot\frac{\partial}{\partial r}
\left( r\cdot\frac{\partial f}{\partial r} \right) +
\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}

Három dimenzióban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A f(x,y,z) háromváltozós függvényre adódik

derékszögű koordináta-rendszerben

\Delta f(x,y,z) =
\frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial y^2} +
\frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial z^2}

hengerkoordinátákban

\Delta f ( \rho , \phi , z ) = \frac{1}{\rho} \cdot\frac{\partial}{\partial \rho}
\left( \rho\cdot\frac{\partial f}{\partial \rho} \right) +
\frac{1}{\rho^2}\cdot\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} +
\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}

az f ( r , \vartheta , \phi ) gömbi koordinátákkal

\Delta f ( r , \vartheta , \phi ) = \frac{1}{r^2} 
\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \cdot \frac{\partial f}{\partial r} \right) +
\frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \cdot \frac{\partial}{\partial \vartheta} \left(\sin\vartheta \cdot \frac{\partial f}{\partial \vartheta} \right) +
\frac{1}{r^2 \sin^2\vartheta} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}

Az egyenlőségjel utáni első tag helyett a következő is írható: \frac{1}{r}\cdot \frac{\partial^2}{\partial r^2}(r\cdot f) vagy akár  \frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\cdot\frac{\partial f}{\partial r} .

A Laplace-operátor Green-függvénye G_{\Delta}(x, x') = -\frac{1}{4\pi\|x-x'\|} + F(x,x') mit \Delta F(x,x') = 0.

Ekkor teljesül: \Delta G_{\Delta}(x, x') = \delta(x - x') , ahol \delta a delta-disztribúció. Az elektrodinamikában a Green-függvényt a peremérték-probléma megoldásához használják.

Megjegyzések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Laplace-operátor megjelenik például a Laplace-egyenletben:

\Delta\varphi = 0

Ennek kétszer folytonosan differenciálható megoldásai a harmonikus függvények.

Mivel a Hesse-mátrix az összes második deriváltból képzett mátrix, azért a Laplace-operátor éppen a Hesse-mátrix nyoma.

Az angol nyelvű szakirodalomban a Laplace-operátor jele \nabla^2.

A Laplace-operátor az idő szerinti deriválttal együtt a d'Alembert-operátort adja:

 \square  =  \frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2}{\partial t^2}- \Delta

Ez az operátor a Laplace-operátor általánosításának tekinthető a Minkowski-tereken.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Laplace-operátor forgásszimmetrikus, azaz ha f kétszer differenciálható és R forgatómátrix, akkor

\left( \Delta f \right)\circ R=\Delta\left(f\circ R\right) ,

ahol „\circ“ a függvénykompozíciót jelöli.

Lásd még: rotáció, divergencia, gradiens

Diszkrét Laplace-operátor és képfeldolgozás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A képfeldogozásban a Laplace-operátort az élek felderítésére, megjelenítésére használják. Az él a jel második deriváltjának nullátmeneteként jelentkezik. Agn és gnm diszkrét jeleken a Laplace-operátort hajtogatásként alkalmazzák. Itt alkalmazzák a következő maszkokat:

1D-szűrő: \vec{D}^2_x=\begin{bmatrix}1 & -2 & 1\end{bmatrix}
2D-szűrő: \mathbf{D}^2_{xy}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\1 & -4 & 1\\0 & 1 & 0\end{bmatrix}

A kétdimenziós szűrőnek van egy másik változata:

2D-Filter: \mathbf{D}^2_{xy}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\1 & -8 & 1\\1 & 1 & 1\end{bmatrix}

Ezek a differenciálhányadosok diszkretizálásával kaphatók.

Laplace-Beltrami-operátor[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Értelmezése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Laplace-operátor eredetileg az euklideszi térben van értelmezve. A riemanni geometria formalizmusa segítségével adódik a lehetőség arra, hogy általánosítsák a görbült felületekre, és a Riemann-sokaságokra. Ez az általánosított operátor a Laplace-Beltrami-operátor.

Definíció: a Laplace-Beltrami-operátor az (általánosított) gradiens (általánosított) divergenciája.

Az f:M\rightarrow \mathbb{R} sokaságon értelmezett skalárfüggvény gradiense vektormező M -en.

Az M sokaság minden x pontjában fennáll a \,v \in T_x M érintővektorra:


\langle \mbox{grad} f(x) , v \rangle = \mathrm d f(x)(v)

Itt df(x) az f(x) függvény deriváltja x-ben, és ezt az érintőtér lineáris formájának fogják fel.

A gradiens kontravariáns komponensei így számíthatók:

 
\left(\mbox{grad} f\right)^i = 
\partial^i f = g^{ij} \partial_j f

az Einstein-féle összegkonvencióval. Ez azt jelenti, hogy j az összegben 1-től n-ig megy. A g^{ij} -k a g_{ij} metrikus tenzor inverz mátrixának elemei. Tehát g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k, ahol \delta^i_k a Kronecker-delta.

Az X vektormező divergenciája az M sokaságon az X vektormező szerinti térfogatelemek L_X Lie-deriváltjával


(\mbox{div} X) \; \mathrm{vol}_n := \mathcal{L}_X \mathrm{vol}_n

Ha g a sokaság metrikus tenzora, akkor a térfogatelem a helyi koordináták szerint


\mathrm{vol}_n := \sqrt{|g|} \;\mathrm dx^1\wedge \ldots \wedge \mathrm dx^n

Itt |g|:=|\det g_{ij}| a metrikus tenzor determinánsának abszolútértéke.

A \mathrm dx^i -k a


\partial_i := \frac {\partial}{\partial x^i}

bázisvektorok kovektorai, és bázist alkotnak a helyi koordináta-rendszer duális terében.

Helyi koordinátákban


\mbox{div} X = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_i \left(\sqrt {|g|} X^i\right).

Összesítve a Laplace-Beltrami-operátor:

\Delta f = \mbox{div grad} \; f = 
\frac{1}{\sqrt {|g|}} \partial_i \left(\sqrt{|g|} \partial^i f\right).

Alakjai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szorzás- és láncszabállyal erre az alakra hozható:


\Delta f = \partial_i \partial^i f + (\partial^i f) \partial_i \ln \sqrt{|g|}

Mivel a háromdimenziós euklideszi térben a derékszögű koordináta-rendszerre |g| = 1, azért \Delta f = \partial_i \partial^i f adódik, ami éppen megfelel a Laplace-operátornak. A (+,-,-,-) vagy (-,+,+,+) Minkowski-metrikával a D'Alembert-operátor áll elő.

A Laplace-Beltrami-operátorba az euklideszi polár-, henger- vagy gömbi metrikus tenzorokat helyettesítve is a Laplace-operátort kapjuk ezekben a koordináta-rendszerekben felírva, mert a polár- és hengerkoordinátákra |g| = r és |g| = \rho, a gömbi koordinátákra pedig |g| = r \sin \theta.

A Laplace-Beltrami-operátor felírható a Christoffel-szimbólumokkal is:

\Delta f = g^{ij}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma_{ij}^k \frac{\partial f}{\partial x^k} \right).

A d külső deriválttal és az általánosított divergenciával bizonyítható a sokaságokra a következő azonosság:

\int_M \mathrm df(X) \;\mathrm{vol}_n = - \int_M f \mbox{div} X \;\mathrm{vol}_n .

Alkalmas f és h függvényekre:

\int_M f\Delta h \;\mathrm{vol}_n = 
- \int_M \langle \mbox{grad} f, \mbox{grad} h \rangle \;\mathrm{vol}_n = 
\int_M h\Delta f \;\mathrm{vol}_n.


Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Otto Forster: Analysis 3. 3. Auflage, vieweg studium, 1984
  • Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik, vieweg Lehrbuch, 1995