Einstein-féle összegkonvenció

Az Einstein-féle összegkonvenció, más néven Einstein-féle automatikus összegkonvenció avagy Einstein-féle néma index konvenció egy indexes jelölés az összegekre a Ricci-kalkulusban. Azt jelenti, hogy az azonos indexű tagok összeadandók, és nem tünteti fel a szumma jelet. A Ricci-kalkulust a differenciálgeometriában, a tenzoranalízisben és az elméleti fizikában használják. A konvenciót Albert Einstein 1916-ban javasolta.

Motiváció

A mátrix- és tenzorszámításokban gyakran képződnek indexes összegek. Például két $n\times n$-es mátrix, A és B szorzata:

$(A\cdot B)_{ij}=\sum _{k=1}^{n}A_{ik}\cdot B_{kj}$

Itt a k indexre összegzünk 1-től n-ig. A többszörös mátrix- és skalárszorzatok hamar átláthatatlanná válnak. A fenti szorzat az Einstein-féle összegkonvencióval:

$(A\cdot B)_{ij}=A_{ik}\cdot B_{kj}$

Formálisan

Az összegkonvenció legegyszerűbb változata így hangzik: ha egy szorzatban egy index kétszer is felbukkan, akkor összegzünk rá. A relativitáselméletben csak akkor összegeznek, ha a kovariáns és a kontravariáns index egyezik meg. Ezt a kétféle indexet úgy különböztetik meg egymástól, hogy a kovariáns indexet alulra, a kontravariáns indexet pedig felülre teszik.

Az összegzési konvencióval az írásmód rövidebb, és segít felismerni olyan szimmetriákat és összefüggéseket, amelyek a hagyományos írásmódban felismerés nélkül maradnának.

Példák

Különbségtétel nélkül

A következő példában $A,B$ $n\times n$-es mátrix, értékeik $A_{ij},B_{ij}$ és ${\vec {x}}=\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right),{\vec {y}}=\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}\right)$ hozzájuk illeszkedő vektorok.

• Skaláris szorzat: ${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=x_{i}y_{i}$.
• Mátrix-vektor szorzat: $\left(A{\vec {x}}\right)_{i}=A_{ij}x_{j}$
• Több mátrix szorzata (itt négy): $(ABCD)_{ij}=A_{il}B_{lm}C_{mn}D_{nj}$.
• Az A mátrix nyoma: ${\text{Spur}}\,A=A_{ii}$

Kovariáns és kontravariáns indexek szerint

• Az $A_{j}^{i}$ és $B_{j}^{i}$ komponensű tenzorok $C_{j}^{i}$ komponensű szorzata $C_{j}^{i}=A_{k}^{i}B_{j}^{k}$
• Az $A_{j}^{i}$ komponensű tenzor alkalmazása az $x^{i},y^{i}$ összegére a $z^{i}$ vektort adja: $z^{i}=A_{j}^{i}\left(x^{j}+y^{j}\right)$.
• A t tenzormező egy $U$ környezetben ábrázolható, mint:

$t|_{U}=t_{j_{1},\ldots ,j_{s}}^{i_{1},\ldots ,i_{r}}{\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}}\otimes \cdots \otimes {\frac {\partial }{\partial x^{i_{r}}}}\otimes \mathrm {d} x^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} x^{j_{s}}.$

ahol az ${\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}}$ objektum indexe alsó indexnek tekintendő.

Források

• Albert Einstein: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 4. Folge, Bd. 49 = 354. Bd. der ganzen Reihe, ISSN 0003-3804, 770–822, (online (PDF; 3,72 MB).