Einstein-féle összegkonvenció

Az Einstein-féle összegkonvenció, más néven Einstein-féle automatikus összegkonvenció avagy Einstein-féle néma index konvenció egy indexes jelölés az összegekre a Ricci-kalkulusban. Azt jelenti, hogy az azonos indexű tagok összeadandók, és nem tünteti fel a szumma jelet. A Ricci-kalkulust a differenciálgeometriában, a tenzoranalízisben és az elméleti fizikában használják. A konvenciót Albert Einstein 1916-ban javasolta.

Motiváció

A mátrix- és tenzorszámításokban gyakran képződnek indexes összegek. Például két $n \times n$-es mátrix, A és B szorzata:

$(A \cdot B)_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} \cdot B_{kj}$

Itt a k indexre összegzünk 1-től n-ig. A többszörös mátrix- és skalárszorzatok hamar átláthatatlanná válnak. A fenti szorzat az Einstein-féle összegkonvencióval:

$(A \cdot B)_{ij} = A_{ik} \cdot B_{kj}$

Formálisan

Az összegkonvenció legegyszerűbb változata így hangzik: haegy szorzatban egy index kétszer is felbukkan, akkor összegzünk rá. A relativitáselméletben csak akkor összegeznek, ha a kovariáns és a kontravariáns index egyezik meg. Ezt a kétféle indexet úgy különböztetik meg egymástól, hogy a kovariáns indexet alulra, a kontravariáns indexet pedig felülre teszik.

Az összegzési konvencióval az írásmód rövidebb, és segít felismerni olyan szimmetriákat és összefüggéseket, amelyek a hagyományos írásmódban felismerés nélkül maradnának.

Példák

Különbségtétel nélkül

A következő példában $A, B$ $n \times n$-es mátrix, értékeik $A_{ij}, B_{ij}$ és $\vec x = \left( x_1, x_2, \dots , x_n \right), \vec y = \left( y_1, y_2, \dots , y_n \right)$ hozzájuk illeszkedő vektorok.

• Skaláris szorzat: $\vec x \cdot \vec y = x_i y_i$.
• Mátrix-vektor szorzat: $\left(A \vec x \right)_i = A_{ij} x_j$
• Több mátrix szorzata (itt négy): $(A B C D)_{ij} = A_{il} B_{lm} C_{mn} D_{nj}$.
• Az A mátrix nyoma: $\text{Spur} \, A = A_{ii}$

Kovariáns és kontravariáns indexek szerint

• Az $A^i_j$ és $B^i_j$ komponensű tenzorok $C^i_j$ komponensű szorzata $C^i_j = A^i_k B^k_j$
• Az $A^i_j$ komponensű tenzor alkalmazása az $x^i, y^i$ összegére a $z^i$ vektort adja: $z^i = A^i_j \left( x^j + y^j \right)$.
• A t tenzormező egy $U$ környezetben ábrázolható, mint:

$t|_U = t^{i_1, \ldots , i_r}_{j_1, \ldots , j_s} \frac{\partial}{\partial x^{i_1}} \otimes \cdots \otimes \frac{\partial}{\partial x^{i_r}} \otimes \mathrm{d} x^{j_1} \otimes \cdots \otimes \mathrm{d} x^{j_s}.$

ahol az $\frac{\partial}{\partial x^{i_1}}$ objektum indexe alsó indexnek tekintendő.

Forrás

• Albert Einstein: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 4. Folge, Bd. 49 = 354. Bd. der ganzen Reihe, ISSN 0003-3804, 770–822, (online (PDF; 3,72 MB).