Hamel-dimenzió

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Hamel-dimenzió a lineáris algebrában használatos dimenziófogalom, amely azt próbálja megragadni, hány egymástól független irány létezik. Informálisan egy tér Hamel-dimenzója n, ha legalább ennyi irány szükséges ahhoz, hogy csak ezekben az irányokban (előre vagy hátra) mozogva a tér bármely pontjába eljuthassunk.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy V vektortér dimenziója tetszőleges bázisának elemszáma, számossága. Ennek jogosságát az a tétel biztosítja, miszerint bármely két bázis azonos számosságú. Jelölés \ \mathrm{dim}V .
Definíció alapján, ha V={0}, azaz a 0 tér esetén a dimenzió 0.

Ha a kiválasztási axióma teljesül, akkor minden vektortérnek van bázisa; ha gyengébb változata, az ultrafilter-lemma teljesül, akkor egy vektortér minden bázisa azonos számosságú. Ez alapján a definíció végtelen dimenziós vektorterekre is konzisztens.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • a közönséges térvektorok vektortere 3 dimenziós, ezek között bármely két, origó kezdőpontú, nem párhuzamos vektor kifeszít egy kétdimenziós alteret, síkot.
  • Fn dimenziója n, míg Fn × knk.
  • a legfeljebb k-adfokú polinomok k+1 dimenziós alteret feszítenek ki.
  • az F feletti polinomok vektortere megszámlálhatóan végtelen dimenziós.
  • a valós függvények tere kontinuum dimenziós.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ekvivalens feltételek

V0 vektortér, n ∈ N+

  1. dim V = n
  2. V-ben a maximálisan független vektorok száma: n
  3. V-ben a minimális generátorrendszer n elemű.

Altér dimenziója[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ha  V\ vektortér,  W \leq V , akkor   \mathrm{dim}\,W \leq \mathrm{dim}\,V.
  • Véges dimenziós  V\ vektortérre, ha  \mathrm{dim}\,W = \mathrm{dim}\,V , akkor  W=V\ .

Rang[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az a1,…,an vektorrendszer rangja r, ha az n vektor között a maximálisan független vektorok száma r.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az a1,…,an vektorok által generált altér dimenziója
\mathrm{dim}\langle\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n\rangle=\mathrm{rang}(\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n)

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]