Ferdetest

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az algebrában ferdetest a neve az olyan F egységelemes gyűrűnek, amelyben minden nemnulla elemnek van multiplikatív inverze, azaz minden x∈F, x≠0 elemhez van olyan x−1F elem, hogy x−1x=xx−1=1.[1]

A ferdetest tehát a test minden tulajdonságának megfelel, kivéve a szorzás kommutativitását. Nem kommutatív ferdetestre példa a kvaterniók ferdeteste.

A ferdetest centruma egy test, amely fölött a ferdetest a beágyazással algebrává válik. Egy adott K közös centrumú, K fölötti vektortérként véges dimenziójú ferdetestek halmaza K Brauer-csoportja.

A szintetikus geometriában ferdetesteket használnak az affin és a projektív geometriák koordinátázásához. A nem test feletti projektív és affin síkokat alternatív testekkel, kvázitestekkel és ternértestekkel koordinátázzák. Ezek a ferdetest fogalmát általánosítják: minden ferdetest alternatív test, minden alternatív test kvázitest, és minden kvázitest ternértest.

Szóhasználat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Sokszor ferdetestre gondolnak, amikor testről írnak, különösen a régebbi irodalomban. Német nyelvterületen néha még ma is felbukkan a Körper szó ebben a jelentésben. Az angolban általában a division ring kifejezést használják; a skew field gyakran csak arra az esetre vonatkozik, amikor kiemelik, hogy az adott struktúra nem kommutatív. Általában a field vonatkozik a kommutatív és a nem kommutatív esetre is. A francia corps is inkább a ferdetestre vonatkozik.

Definíciók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az S halmaz ferdetest, ha el van látva a + és a \cdot műveletekkel, és a 0 és 1 konstansokkal, hogy:

  1. (S,+,0) Abel-csoport
  2. (S\setminus \{0\},{}\cdot {},1) csoport
  3. a szorzás mindkét oldalról disztributív az összeadásra, azaz S bármely három a, b és c elemére
  • a\cdot (b+c)= a\cdot b + a\cdot c balról disztributív
  •  (b+c)\cdot a= b\cdot a + c\cdot a jobbról disztributív

A mindkét oldali disztributivitásra azért van szükség, mert a szorzásnak nem kell kommutatívnak lennie.

Cohn ekvivalens definíciója a ferdetest multiplikatív félcsoportját helyezi előtérbe:[2]

Legyen (G,\cdot,1) csoport, amit bővítünk egy 0 elemmel úgy, hogy x\cdot 0= 0\cdot x=0. Legyen \sigma: G_0\rightarrow G_0 olyan, hogy

  1. \exist e\in G: \sigma(e)=0,
  2. \sigma(0)=1
  3. \sigma(a^{-1}\cdot b\cdot a)= a^{-1}\cdot \sigma(b)\cdot a minden a, b\in G-re,
  4. \sigma(\sigma(b\cdot a^{-1})\cdot a)=(\sigma(\sigma(b)\cdot a^{-1})\cdot a für a\in G, b\in G_0,

akkor (G_0,+,\cdot,0,1) ferdetest az

 x+y=\begin{cases} \sigma(x\cdot y^{-1})\cdot y\quad &(y\neq 0)\\ x\quad &(y=0)\end{cases}

összeadással. Adott összeadással ellátott ferdetest esetén a \sigma leképezés \sigma(a)=a+1 alakban adható meg.

Günter Pickert ekvivalerns definíciója nem követeli meg a disztributivitást:[3] Legyen (S,+,\cdot,0,1) halmaz a + és a \cdot műveletekkel, és a 0 és 1 konstansokkal, továbbá

  1. (S,+,0) Abel-csoport,
  2. (S\setminus \{0 \},\cdot,1) csoport
  3. és (S\setminus \{1 \},\circ,0) szintén csoport a a\circ b=a+b-a\cdot b művelettel,
  4. és 0\cdot 1= 1 \cdot 0=0.

Ekkor (S,+,\cdot,0,1) ferdetest.

Tulajdonságok és kapcsolódó fogalmak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Résztest[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hogyha S ferdetest, és D\subseteq S részhalmaza S-nek úgy, hogy 0,1\in D, (D,+) részcsoport (S,+)-ban, és (D\setminus \{ 0\},\cdot) és (S\setminus \{ 0\},\cdot,1), akkor D részteste S-nek. Jelölése: D\leq S.

Test[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha az F ferdetest elemei a fentieken kívül még kommutatívak is a szorzásra nézve, akkor F-et testnek nevezzük. (Egyes szerzők a nemkommutatív ferdetesteket is testnek nevezik, a kommutatív ferdetestekre pedig a kommutatív test kifejezést használják.)

Az F ferdetest centruma a Z={z∈F:zx=xz ∀x∈F} halmaz. Egy ferdetest centruma mindig test; maga a ferdetest a centruma fölötti algebrát alkot.

Centrum és centralizátor[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ha S ferdetest, akkor a Z(S)=\lbrace x \in S\left|\; \forall a\in S: x\cdot a = a \cdot x \right.\rbrace halmaz S centruma. Elemei a centrális elemek.
  • S centruma a multiplikatív csoport centruma, hozzávéve a nullelemet: Z(S)=Z(S\setminus \{ 0\},{}\cdot {})\cup \{0\}. A centrum test.
  • Az A\subseteq S részhalmaz \mathcal{C}_S(A) centralizátora nem más, mint \mathcal{C}_S(A)=\left\lbrace x\in S\left|\; \forall a\in A: a\cdot x= x\cdot a\right.\right\rbrace. Minden centralizátor nem feltétlenül kommutatív részteste S-nek.
  • Az A részhalmaz centralizátorára teljesül, hogy Z(S)\leq Z(\mathcal{C}_S(A))\leq \mathcal{C}_S(A).
  • A centralizátor képzése megfordítja a halmazelméleti tartalmazást:A\subseteq B \Rightarrow \mathcal{C}_S(A)\geq \mathcal{C}_S(B). Speciálisan, \mathcal{C}_S(\emptyset)=\mathcal{C}_S(Z(S))=S.

További rokon fogalmak és tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A divízióalgebrákban a szorzásnak nem kell asszociatívnak lennie. Minden ferdetest divízióalgebra a centruma felett. Megfordítva, egy K test feletti (D,+,\cdot,0,1) divízióalgebra pontosan akkor ferdetest, ha (D\setminus \{0\},\cdot,1) asszociatív, és csoportot alkot. Ekkor K a a centrumnak, mint testnek részteste, K\leq Z(D).
  • Minden ferdetest majdnemtest, és megfordítva, egy majdnemtest pontosan akkor ferdetest, ha mindkét oldalról disztributív.
  • Majdnemtestet kapunk, ha Cohn definíciójából elhagyjuk a \sigma rákövetkező függvényt.
  • Minden ferdetest geometriai értelemben féltest, és alternatív test. Megfordítva, egy alternatív test akkor és csak akkor ferdetest, ha a szorzása asszociatív.
  • Egy egységelemes gyűrű akkor és csak akkor ferdetest, ha minden nullától különböző eleme jobbról és balról invertálható. A két inverz egyértelműsége és egyenlősége már a gyűrű definíciójából következik.

Nevezetes tételek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Wedderburn-tétel szerint minden véges ferdetest kommutatív.[4]

Frobenius tétele azt mondja ki, hogy a valós számok teste fölött csak három olyan véges dimenziós asszociatív algebra van, amelyben minden nemnulla elemnek van multiplikatív inverze: maga a valós számok teste, a komplex számok teste és a kvaterniók ferdeteste.

Konstrukciók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Valamennyi test egyben ferdetest is. A nemkommutatív ferdetestek közül talán a legismertebb a kvaterniók által alkotott ferdetest. Wedderburn tétele miatt minden ilyen ferdetest végtelen.

A kommutatív testek algebrai vagy transzcendens bővítésekkel előállnak prímtestükből. A ferdetestekre nem ismert hasonló kanonikus konstrukció. A legtöbb módszer egy alkalmas nullosztómentes gyűrűt ágyaz be a bal vagy a jobb hányadostestébe. Egy viszonylag egyszerű feltételt Øystein Ore talált az alkalmas gyűrűkre; ez az Ore-feltétel.

A végtelen dimenziós bővítések analóg módon építhetők a Hilbert által megadott ferdetestekre:[5]

  1. Legyen K test, vagy egy ismert ferdetest
  2. K(u) az u határozatlanú racionális függvénytest
  3. Legyen K(u)-n \alpha: f(u)\mapsto f(u^2) egy gyűrűendomorfia
  4. Egy új v határozatlannal képezzük a nem kommutatív K(u) [v;\alpha] polinomgyűrűt, ahol az uv szorzatot a u\cdot v =v\cdot \alpha(u) felcserélési szabály határozza meg.
  5. A K(u) [v;\alpha ] nullosztómentes Ore-gyűrű jobb hányadosteste H=K(u)(v;\alpha), ami a tulajdonképpeni Hilbert-test.[5]

A C=Z(K) centrum a Hilbert-testnek is centruma, továbbá [H:C]=\mathop{\mathrm{dim}}_C(H)=\infty. Ha K formálisan valós test, akkor H rendezhető az algebrai műveletekkel összeegyeztethető módon.

A konstrukció általánosítása a fent definiált \alpha helyett egy másik gyűrűendomorfiát is választhat.

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

1843-ban Sir William Hamilton konstruálta az első nem kommutatív testet, a kvaterniókat. A háromdimenziós tér vektorait próbálta ahhoz hasonlóan ábrázolni, ahogy a síkvektorokat ábrázolják a komplex számok. Az általa és követői által erre épített geometriai kalkulus hozzájárult a vektoranalízis kifejlődéséhez. A centrumuk fölött véges dimenziós C-vektortereket alkotó ferdetestek az 1920-as és az 1930-as évek kedvelt témái voltak. Az 1970-es években kiújult irántuk az érdeklődés.[6]

David Hilbert 1903-ban konstruálta az első olyan ferdetestet, amely végtelen dimenziós a centruma fölött. Keresett egy modellt, ami a formálisan valós testekkel analóg módon lehetővé teszi a műveletekkel összhangban levő rendezést a ferdetestekben. Egy ilyen ferdetest fölött sikerült neki definiálni egy affin geometriát, amely megfelelt az általa definiált euklideszi axiómarendszer néhány axiómájának.

1931-ben Øystein Ore a róla elnevezett és a cikkben tárgyalt konstrukciójával foglalkozott.

Hivatkozások jegyzéke[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Wolfram MathWorld: Skew Field
  2. Cohn (1995)
  3. Günter Pickert: In: Mathematische Zeitschrift. Nr. 71, 1959, 99–108.
  4. J.H.M. Wedderburn: 'A theorem on finite algebras', Trans. Amer. Math. Soc. 6 (1905), 349-352.
  5. ^ a b Cohn (1995), 6.1
  6. Jacobson (1996)
  1. L. A. Skornyakov: Skew-field. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (Online).
  2. P. M. Cohn, Gian-Carlo Rota (Hrsg.): Skew Fields. Theory of general division rings (= Encyclopedia of Mathematics and its applications. Vol. 57). 1. Auflage. Press Syndicate of the University of Cambridge, Cambridge 1995, ISBN 0-521-43217-0.
  3. John Dauns, Karl H. Hofmann, Rudolf Wille (Hrsg.): A Concrete Approach to Division Rings (= Research and Education in Mathematics. Vol. 2). 1. Auflage. Heldermann Verlag, Berlin 1982, ISBN 3-88538-202-4 (Inhaltsverzeichnis, abgerufen am 23. März 2012).
  4. Nathan Jacobson: Finite-dimensional division algebras over fields. 2. korrigierte Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg u. a. 2010, ISBN 978-3-540-57029-5.
  5. Günther Pickert: Einführung in die Höhere Algebra (= Studia mathematica. 7). 1. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1951.