Vektoriális szorzat

A vektoriális szorzat, pontosabban két térbeli vektor vektoriális, más néven külső- vagy keresztszorzata vektorokkal végzett olyan művelet, amelynek eredménye egy vektor. Míg a vektorok (és a rajtuk végzett műveletek közül például a skaláris szorzat) általánosíthatók több dimenzióra, a vektoriális szorzatot csak 3 dimenziós térben értelmezzük.

Jelölése: a×b vagy [ab] (szóban: a kereszt b)

Értelmezése:

$|\mathbf{c}|=|\mathbf{a}\times\mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin(\theta)$

1. Az eredményvektor nagysága (abszolútérték) a két vektor hosszának és a közbezárt szögük szinuszának szorzata (0° ≤ θ ≤ 180°):
2. Az eredményvektor állása merőleges mind a-ra, mind b-re (az [a,b] síkra).
3. Az eredményvektor iránya olyan, hogy az a, b és c jobbsodrású vektorrendszert alkot.

(Egy a, b, c vektorrendszert akkor hívjuk jobbsodrásúnak, ha a jobb kezünk hüvelykujja a-val, mutatóujja b-vel, középsőujja pedig (tenyerünkre merőlegesen) c-vel párhuzamosan áll.)

Derékszögű koordináta-rendszerben a c eredményvektor koordinátáit a következőképp kapjuk a és b koordinátáiból:

$c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2$

$c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3$

$c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1$

Vagy rövidebben: $c_i = \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k$, ahol $\varepsilon_{ijk}$ a Levi-Civita-szimbólumot jelenti.
Ha elképzelünk egy paralelogrammát, aminek szomszédos oldalait az a és b vektorok alkotják, akkor a×b nagysága (tehát az eredményvektor hossza) éppen megegyezik a két vektor által kifeszített paralelogramma területével.

Két párhuzamos állású vektor vektoriális szorzata a nullvektort adja eredményül (mert a bezárt 0° fokos ill. 180° szög szinusza 0). Például a×b = 0. Akkor lesz leghosszabb az eredményvektor, ha derékszögben állnak egymáshoz képest az összeszorzandó vektorok (mert 90 fok szinusza 1).

Tulajdonságok

• $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = - \mathbf{b}\times\mathbf{a}$ , tehát nem kommutatív (hanem antikommutatív)
• $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}+\mathbf{c}) = \mathbf{a}\times\mathbf{b} + \mathbf{a}\times\mathbf{c}$ , tehát az összeadásra disztributív
• $(\lambda \mathbf{a})\times\mathbf{b} = \mathbf{a}\times(\lambda\mathbf{b}) = \lambda (\mathbf{a}\times\mathbf{b})$
• $(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c} \ne \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})$ , tehát a hármas vektorszorzat nem asszociatív. De teljesíti a Jacobi-azonosságot: $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) + \mathbf{b}\times(\mathbf{c}\times\mathbf{a}) + \mathbf{c}\times(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = 0$ Ez, az előbbi két tulajdonsággal együtt (linearitás és disztributivitás) azt eredményezi, hogy R³ a vektorok közti összeadással és vektoriális szorzással Lie-algebrát képez.

Kifejtési tétel

$\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \mathbf{b} (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{c} (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})$

Négyesszorzat:

$(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times(\mathbf{c}\times\mathbf{d}) = - \mathbf{d}(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) + \mathbf{c}(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{d})$, ahol $(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})$ módon a vegyes szorzat van jelölve.

Lagrange-azonosság:

$(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) \cdot (\mathbf{c}\times\mathbf{d}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{d}) - (\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})(\mathbf{a}\cdot\mathbf{d})$

$\mathbf{a}^{(i)}$ (i=1,2,3) vektorok $\mathbf{A}^{(i)}$ (i=1,2,3) reciprok rendszerét is a vektoriális szorzat segítségével számítjuk ki:

$\mathbf{A}^{(1)} = \frac{1}{v} (\mathbf{a}^{(2)} \times \mathbf{a}^{(3)})$

$\mathbf{A}^{(2)} = \frac{1}{v} (\mathbf{a}^{(3)} \times \mathbf{a}^{(1)})$

$\mathbf{A}^{(3)} = \frac{1}{v} (\mathbf{a}^{(1)} \times \mathbf{a}^{(2)})$ , ahol $v = (\mathbf{a}^{(1)},\mathbf{a}^{(2)},\mathbf{a}^{(3)})$

Kiszámítása a derékszögű koordináta-rendszerben

Előállítása mátrixszorzásként

Három dimenzióban két vektor közötti vektoriális szorzást átírhatunk egy 3×3-as antiszimmetrikus mátrix és egy vektor szorzatára a következőképpen:

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{A}_{\times} \mathbf{b} = \begin{bmatrix}0&-a_3&a_2\\a_3&0&-a_1\\-a_2&a_1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}$

Determinánsalak

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}$, ahol i, j és k az egységvektorok.

A gyakorlatban ezek a módszerek könnyebben megjegyezhetőek és a számolást is egyszerűsítik.

Fizikai alkalmazások

A fizika számos területén alkalmazzák, pl.:

B indukciójú mágneses térben v sebességgel mozgó töltésre ható erő: $\mathbf{F} = q(\mathbf{v}\times\mathbf{B})$

r erőkarral rendelkező F erő forgatónyomatéka: $\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F}$

Külső hivatkozások

• Interaktív Java szimuláció két vektor vektoriális szorzatáról gömbi koordináták megadásával. Szerző: Wolfgang Bauer
• Magyarított Flash animáció két vektor vektoriális szorzatának irányáról, ill. ennek kapcsolatáról a jobbkézszabállyal. Szerző: David M. Harrison

Lásd még

• Skaláris szorzat