Levi-Civita-szimbólum

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Levi-Civita-szimbólumot a fizikai vektor- és tenzorszámításban használják. Jele \varepsilon_{i_1i_2\dots i_n}; értéke nulla, ha van két egyező index, egy, ha az indexek adott sorrendje páros permutáció, és mínusz egy, ha páratlan. Vagyis azt mutatja, hogy páros vagy páratlan sok csere kell-e az indexek rendezéséhez. A matematikában inkább a permutációk előjeléről beszélnek. A szimbólumot Tullio Levi-Civita (1873−1941) olasz matematikusról nevezték el. Használatos megnevezése még, a teljesen antiszimmetrikus egységtenzor.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az n-dimenziós Levi-Civita-szimbólumnak n indexe van, amelyeket általában 1-től n-ig, de néhány alkalmazásban 0-tól n-1-ig számoznak. Így definiálják:

  • \varepsilon_{12\dots n} = 1.
  • Két index felcserélése az ellentettjére változtatja: \varepsilon_{ij\dots u\dots v\dots} = -\varepsilon_{ij\dots v\dots u\dots}.
  • A második tulajdonságból következik, hogy ha két index egyenlő, akkor értéke nulla: \varepsilon_{ij\dots u\dots u\dots} = 0.

Jelben


  \varepsilon_{ijk\dots} =
  \begin{cases}
    +1, & \mbox{ha }(i,j,k,\dots) (1,2,3,\dots) \mbox{ páros permutációja } \\
    -1, & \mbox{ha }(i,j,k,\dots) (1,2,3,\dots) \mbox{ páratlan permutációja } \\
    0,  & \mbox{ha két index megegyezik.}
  \end{cases}

Egy alternatív definíció ugyanazt a szorzatképletet alkalmazza, amivel a permutációk előjelét definiálják:


 \varepsilon_{i_1\dots i_n} =
 \prod_{1\le p<q\le n} \frac{i_p-i_q}{p-q}
.

Jelölje N=\{1,\dots,n\} az 1 és n közötti egész számok halmazát! Ekkor a Levi-Civita-szimbólum értelmezhető egy \varepsilon:\{\pi|\pi:N\rightarrow N\}\rightarrow\{-1,0,+1\}\subset\mathbb{R} függvényként, ahol \varepsilon(\pi)=0, ha π nem bijektív, és \varepsilon(\pi)=\sgn(\pi), ha π permutáció.

Kapcsolat a determinánssal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az A = \left(A_{ij}\right) n \times n-es mátrix determinánsa a következőképpen írható a Levi-Civita-szimbólummal és az Einstein-féle összegkonvencióval:


  \det A = \varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} 
           A_{1i_1} A_{2i_2} \dots A_{ni_n} \;.

Általánosabban is teljesül az összefüggés:


 \varepsilon_{j_1 \dots j_n} A_{j_1i_1} \dots A_{j_ni_n} =
 \varepsilon_{i_1 \dots i_n} \det A
.

A helyére az I identitásmátrixot téve A_{ij} helyére a \delta_{ij} Kronecker-delta kerül, így mivel \det I = 1, kapjuk a Levi-Civita-szimbólum következő ábrázolását:


 \varepsilon_{i_1 \dots i_n} =
 \varepsilon_{j_1 \dots j_n} \delta_{j_1i_1} \dots \delta_{j_ni_n} =
 \begin{vmatrix}
  \delta_{1i_1} & \dots & \delta_{1i_n}\\
  \vdots & & \vdots\\
  \delta_{ni_1} & \dots & \delta_{ni_n}
 \end{vmatrix} =
 \det(e_{i_1}\dots e_{i_n})
.

ahol \{e_1,\dots,e_n\} a szokásos ortonormált bázis \mathbb R^n-ben. Ez a mátrix annak a permutációmátrixnak a transzponáltja, ami a \begin{pmatrix}x_1&x_2&\dots&x_n\end{pmatrix}^T vektort \begin{pmatrix}x_{i_1}&x_{i_2}&\dots&x_{i_n}\end{pmatrix}^T-be viszi.

Innen a determinánsok szorzástételével


 \varepsilon_{i_1 \dots i_n}\varepsilon_{j_1 \dots j_n} =
 \det \left((e_{i_1}\dots e_{i_n})^T\cdot(e_{j_1}\dots e_{j_n})\right) =
 \begin{vmatrix}
  \delta_{i_1j_1} & \dots & \delta_{i_1j_n}\\
  \vdots & & \vdots\\
  \delta_{i_nj_1} & \dots & \delta_{i_nj_n}
 \end{vmatrix}
.

A Laplace-féle kifejtési tétellel kapható a következő összefüggés, amely a két tenzor első k indexét kontraktálja:


 \varepsilon_{i_1 \dots i_k i_{k+1} \ldots i_n}\varepsilon_{i_1 \dots i_k j_{k+1} \ldots j_n} = k!
 \begin{vmatrix}
  \delta_{i_{k+1}j_{k+1}} & \dots & \delta_{i_{k+1}j_n}\\
  \vdots & & \vdots\\
  \delta_{i_nj_{k+1}} & \dots & \delta_{i_nj_n}
 \end{vmatrix}
.

Három dimenzióban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Levi-Civita-szimbólum ábrázolható a három ortogonális egységvektor vegyes szorzataként:

\varepsilon_{ijk}=\hat{e}_{i}\cdot(\hat{e}_{j}\times\hat{e}_{k})=\det\left(\begin{array}{ccc} - & \hat{e}_{i} & -\\ - & \hat{e}_{j} & -\\ - & \hat{e}_{k} & -\end{array}\right)=:\det A
\varepsilon_{lmn}=\hat{e}_{l}\cdot(\hat{e}_{m}\times\hat{e}_{n})=\det\left(\begin{array}{ccc} - & \hat{e}_{l} & -\\ - & \hat{e}_{m} & -\\ - & \hat{e}_{n} & -\end{array}\right)=:\det B

A két epszilon-tenzor szorzásában újra felhasználjuk a determinánsok szorzástételét, vagyis hogy a szorzat determinánsa megegyezik a tényezők determinánsának szorzatával. Emellett még azt is kihasználjuk, hogy a transzponálás művelete megőrzi a determinánst:


\begin{align}
 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn}
 &= \det A\,\det B=\det A\,\det B^{t}=\det(A\cdot B^{t})\\
 &= \left|\left(\begin{array}{ccc}
    - & \hat{e}_{i} & -\\
    - & \hat{e}_{j} & -\\
    - & \hat{e}_{k} & -\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccc}
    \mid & \mid & \mid\\
    \hat{e}_{l} & \hat{e}_{m} & \hat{e}_{n}\\
    \mid & \mid & \mid\end{array}\right)\right|
  = \left|\begin{array}{ccc}
    \hat{e}_{i}\cdot\hat{e}_{l} & \hat{e}_{i}\cdot\hat{e}_{m} & \hat{e}_{i}\cdot\hat{e}_{n}\\
    \hat{e}_{j}\cdot\hat{e}_{l} & \hat{e}_{j}\cdot\hat{e}_{m} & \hat{e}_{j}\cdot\hat{e}_{n}\\
    \hat{e}_{k}\cdot\hat{e}_{l} & \hat{e}_{k}\cdot\hat{e}_{m} & \hat{e}_{k}\cdot\hat{e}_{n}\end{array}\right|
\end{align}

Így a két epszilon-tenzor szorzata felírható Kronecker-delták determinánsaként:

\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn}=\left|\begin{array}{ccc} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in}\\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn}\\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn}\end{array}\right|

Alkalmazásai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Vektorszámítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A háromdimenziós esetre adódik:


  \varepsilon_{ijk} = \frac{i-j}{1-2}\cdot\frac{i-k}{1-3}\cdot\frac{j-k}{2-3} = -\frac{1}{2}(j-i)(k-j)(i-k) \equiv (j-i)(k-j)(i-k) \mod 3

ahol  i,j,k \in  \lbrace1,2,3\rbrace .

 \varepsilon_{ijk} 27 értéke közül csak 6 különbözik nullától:

 \varepsilon_{123} = \varepsilon_{312} = \varepsilon_{231} = 1 ,
 \varepsilon_{321} = \varepsilon_{213} = \varepsilon_{132} = -1 .
A háromdimenziós Levi-Civita-szimbólum értékei jobbsodrású koordináta-rendszerben
A Levi-Civita-szimbólumok mátrixa és ...
A Levi-Civita-szimbólum balsodrású koordináta-rendszerben

Ebből látszik a Levi-Civita-szimbólum invarianciája a ciklikus permutációra. Ez az invariancia azonban csak páratlan dimenzióban áll fenn, mivel páros dimenzióban a ciklikus permutáció megváltoztatja az előjelet.

A következő számpélda determinánsként ábrázolja, ami három dimenzióban vegyes szorzatként is kifejezhető:


\begin{align}
 \varepsilon_{123} &= \vec{e_{1}} \cdot (\vec{e_{2}} \times \vec{e_{3}}) \\ &=
 \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \cdot \left(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) =
 \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = 1
\end{align}

Három dimenzióban a vektoriális szorzat a Levi-Civita-szimbólum felhasználásával:


  (\vec{a} \times \vec{b})_i = 
    \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k \;.

Ha \vec{e_i} az ortonormált bázis i-edik egységvektora, akkor a fenti egyenlőség az


  \vec{a} \times \vec{b} = \varepsilon_{ijk} a_j b_k \vec{e_i} = \varepsilon_{ijk} a_i b_j \vec{e_k}

alakot nyeri.

A vegyes szorzatra


 (\vec{a} \times \vec{b})\cdot\vec{c}=\varepsilon_{ijk} a_i b_j c_k
.

ahol a Levi-Civita-szimbólum egy térfogatképlet részévé válik, hiszen a vegyes szorzat nagysága a három vektor által kifeszített paralepidon térfogatával egyenlő.

A Levi-Civita-szimbólum a Kronecker-deltához is kapcsolódik:


\begin{align}
 \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{lmn} &= 
 \begin{vmatrix}
  \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\
  \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn} \\
  \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn}
 \end{vmatrix}\\ &= 
   \delta_{il} \delta_{jm} \delta_{kn} + \delta_{im} \delta_{jn} \delta_{kl} + \delta_{in} \delta_{jl} \delta_{km}
  -\delta_{im} \delta_{jl} \delta_{kn} - \delta_{il} \delta_{jn} \delta_{km} - \delta_{in} \delta_{jm} \delta_{kl}
\end{align}
.

Innen az Einstein-féle összegkonvencióval


\begin{align}
 \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{imn} &=
  \begin{vmatrix}
  \delta_{jm} & \delta_{jn} \\
  \delta_{km} & \delta_{kn}
 \end{vmatrix} = 
 \delta_{jm} \delta_{kn} - \delta_{jn} \delta_{km}\\
 \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ijn} &= 2\delta_{kn}\\
 \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ijk} &= 3! = 6
\end{align}
.

Ezek a kapcsolatok segítenek a vektoriális szorzat azonosságainak levezetésében.

Az epszilon-tenzor egy \vec{a} vektorhoz azt a ferdén szimmetrikus A mátrixot rendeli, amire A_{ij}=\varepsilon_{ijk}a_k. A vektpriális szorzat tehát kifejezhető mátrixszorzatként:

\vec{a}\times\vec{b}=A\cdot\vec{b}

Ez a Hodge-operátor. Fizikai példa a mágneses erővektorhoz rendelt komponensek az elektromágneses mezőtenzorban. Ugyanilyen hozzárendelést kapcsolnak a pszeudovektorokhoz is.

Relativitáselmélet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A relativitáselméletben különbséget kell tennünk az epszilon-tenzor ko- és kontravariáns komponensei között. Legyen a következőkben a metrikus tenzor szignatúrája \,\eta_{ij}=(1,-1,-1,-1) a négydimenziós Minkowski-térben! Itt az indexeket nullától háromig vesszük fel. A négyszeresen kontravariáns komponens \varepsilon^{0123}=1.[1] A különböző szerzők különféle előjel-konvenciókat alkalmaznak a metrikában és az epszilon-tenzorra. Az indexek szokás szerint együtt mozognak a metrikus tenzorral. Így például a négyszeresen kontravariáns komponensre

\varepsilon_{0123}=\eta_{0\mu}\eta_{1\nu}\eta_{2\varrho}\eta_{3\sigma}\varepsilon^{\mu\nu\varrho\sigma}=\det(\eta)=-1.

Az epszilon-tenzor invariáns a \Lambda Lorentz-transzformációra:


   \varepsilon^{\prime \mu\nu\varrho\sigma} = \Lambda^{\mu}_{\ \mu^\prime}\Lambda^{\nu}_{\ \nu^\prime}\Lambda^{\varrho}_{\ \varrho^\prime}\Lambda^{\sigma}_{\ \sigma^\prime}\varepsilon^{\mu^\prime\nu^\prime\varrho^\prime\sigma^\prime} = \varepsilon^{\mu\nu\varrho\sigma}

Ez abból következik, hogy \Lambda determinánsa 1. Az epszilon-tenzor felhasználásával a duális elektromágneses térerőtenzor is definiálható:

\tilde{F}^{\mu\nu}=\tfrac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\varrho\sigma}F_{\varrho\sigma}

Ezzel a homogén Maxwell-egyenletek is tömörebben írhatók:

\partial_{\mu} \tilde{F}^{\mu\nu}=0

Ha a négydimenziós Minkowski-teret a 2\times 2-es hermitikus mátrixok vektorterére képezzük le, akkor újra felbukkan az epszilon-tenzor:

v_{\alpha\dot\alpha}=\sigma^m_{\alpha\dot\alpha}v_m. Itt \,\sigma^m a Pauli-mátrixok \,m=1,2,3 és \,\sigma_0=-E_2 az egységmátrix negatívja. Ennek megfelelő a tenzorok hozzárendelése. A metrikus tenzor két epszilon-tenzor szorzatára képeződik le:
\sigma^m_{\alpha\dot\alpha}\sigma^n_{\beta\dot\beta}\eta_{mn}=-2\varepsilon_{\alpha\beta}\varepsilon_{\dot\alpha\dot\beta}.

Ebben a formalizmusban (Van-der-Waerden-notáció) az egy indexes mennyiségek \,\psi^\alpha spinorok, és az epszilon-tenzor ugyanazt a szerepet kapja a ko- és kontravariáns komponensek átszámításában, mint az \,\eta_{mn} metrikus tenzor a közönséges Minkowski-térben:

\psi_\alpha=\varepsilon_{\alpha\beta}\psi^\beta.

A metrika szignatúrájának rendszerint a (-1,1,1,1) vektort választják. Az epszilon-tenzorra az itt szokásos választás: \varepsilon^{12}=\varepsilon_{21}=1.[2]

Kvantummechanika[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kvantummechanikában a Levi-Civita-szimbólumot a forgatóimpulzus-algebra megformálására használják. Matematikai fogalmakkal a szimbólum megegyezik az {so}(3,\mathbb R)\cong {su}(2,\mathbb C) Lie-algebrák struktúrakonstansaival. A következő példa illusztrálja a Levi-Civita-szimbólum használatát ebben az összefüggésben. Az {so}(3,\mathbb R) Lie-algebra az \mathbb R^{3\times 3}-as ferdén szimmetrikus mátrixok részalgebrájának tekinthető, vagyis ábrázolható 3\times 3-as valós mátrixokkal. Az {so}(3,\mathbb R) Lie-algebrát generálják a T_i\in\mathbb R^{3\times 3}, i=1,2,3 mátrixok, amikben az értékek (T_i)_{jk}=-\varepsilon_{ijk}. Ekkor [T_i,T_j]=\varepsilon_{ijk}T_k a generátorok kommutátorai.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. John David Jackson: Classical Electrodynamics. 3. Auflage. John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-30932-X.
  2. Julius Wess, Jonathan Bagger: Supersymmetry and Supergravity. Princeton University Press, 1983.