Ferdén szimmetrikus mátrix

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az n-edrendű  A = [a_{ij}] négyzetes mátrix ferdeszimmetrikus vagy ferdén szimmetrikus mátrix, ha megegyezik a transzponáltjának (–1)-szeresével, vagyis ha A^T = -A, tehát a_{ij} = -a_{ji} minden i, j = 1, \dots, n indexre.

A nem 2 karakterisztikájú test fölötti ferdén szimmetrikus mátrix minden főátlóbeli eleme zéró, tekintettel a a_{ii} = -a_{ii} minden i = 1, \cdots, n indexre definícióra, mert csak a 0 egyenlő a saját ellentettjével.

Továbbá nem 2 karakterisztikájú test fölött a páratlan dimenziójú ferdén szimmetrikus mátrixok determinánsa nulla.

Ugyanis: A^T=-A\,, így \det(A)=\det(A^T)=\det(-A)=(-1)^n\,\det(A).

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az A =
\begin{bmatrix}
                 0 & 7 & -2 \\
                 -7 & 0 & -1 \\
                 2 & 1 & 0 \\

\end{bmatrix}
mátrix ferdén szimmetrikus mátrix, mert 
(-1)\cdot A^T = (-1) \cdot
\begin{bmatrix}
                 0 & -7 & 2 \\
                 7 & 0 & 1 \\
                 -2 & -1 & 0 \\

\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
                 0 & 7 & -2 \\
                 -7 & 0 & -1 \\
                 2 & 1 & 0 \\

\end{bmatrix}
.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A ferdén szimmetrikus mátrixok vektorteret alkotnak, aminek dimenziója \frac{n(n-1)}{2}.

Továbbá a vektoriális szorzás kifejezhető ferdén szimmetrikus mátrixszal:


a\times b = S_a b

ahol


S_a = \begin{pmatrix}
    0 & -a_3 & a_2\\
    a_3 & 0 & -a_1 \\
    -a_2 & a_1 & 0
  \end{pmatrix}

Ezzel a vektoriális szorzatot tartalmazó függvények deriváltja is kiszámíthatóvá válik.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Obádovics, J. Gyula.szerk.: Érsek Nándor: 1.3.1 Műveletek mátrixokkal., Mátrixok és differenciálegyenletrendszerek. Budapest: Scolar Kiadó. ISBN 963-9534-24-2 (2005. december 5.)