Ferdén szimmetrikus mátrix

Az $n$-edrendű $A = [a_{ij}]$ négyzetes mátrix ferdeszimmetrikus vagy ferdén mátrix, ha megegyezik a transzponáltjának (–1)-szeresével, vagyis ha $A^T = -A$, tehát $a_{ij} = -a_{ji}$ minden $i, j = 1, \dots, n$ indexre.

A nem 2 karakterisztikájú test fölötti ferdén szimmetrikus mátrix minden főátlóbeli eleme zéró, tekintettel a $a_{ii} = -a_{ii}$ minden $i = 1, \cdots, n$ indexre definícióra, mert csak a 0 egyenlő a saját ellentettjével.

Továbbá nem 2 karakterisztikájú test fölött a páratlan dimenziójú ferdén szimmetrikus mátrixok determinánsa nulla.

Ugyanis: $A^T=-A\,$, így $\det(A)=\det(A^T)=\det(-A)=(-1)^n\,\det(A)$.

Példa

Az $A = \begin{bmatrix} 0 & 7 & -2 \\ -7 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$ mátrix ferdén szimmetrikus mátrix, mert $(-1)\cdot A^T = (-1) \cdot \begin{bmatrix} 0 & -7 & 2 \\ 7 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 7 & -2 \\ -7 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$.

Tulajdonságok

A ferdén szimmetrikus mátrixok vektorteret alkotnak, aminek dimenziója $\frac{n(n-1)}{2}$.

Továbbá a vektoriális szorzás kifejezhető ferdén szimmetrikus mátrixszal:

$a\times b = S_a b$

ahol

$S_a = \begin{pmatrix} 0 & -a_3 & a_2\\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{pmatrix}$

Ezzel a vektoriális szorzatot tartalmazó függvények deriváltja is kiszámíthatóvá válik.

Forrás

• Obádovics, J. Gyula.szerk.: Érsek Nándor: 1.3.1 Műveletek mátrixokkal., Mátrixok és differenciálegyenletrendszerek. Budapest: Scolar Kiadó. ISBN 963-9534-24-2 (2005. május 30.)