Vegyes szorzat

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A vegyes szorzat három darab háromdimenziós vektor között értelmezett matematikai művelet, melynek eredménye skalár (szám).

Az a, b és c vektorok vegyes szorzatának jele abc. Értéke definíció szerint abc = (a × bc, ahol „×” a vektoriális szorzatot, „·” pedig a skaláris szorzatot jelöli. Ennek a számnak az abszolút értéke megegyezik a három vektor által kifeszített paralelepipedon térfogatával.

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • abc = bca = cab = –cba = –bac = –acb
  • a)bc = ab)c = abc) = λ(abc), bármely λ skalárra.
  • Ha az a, b, c vektorok lineárisan összefüggők, akkor a vegyes szorzat 0.
  • A vegyes szorzat megegyezik annak a 3×3-as négyzetes mátrixnak a determinánsával, melynek sor- vagy oszlopvektorai sorrendben az adott három vektorral egyeznek meg, azaz
\mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c} =
\det\begin{pmatrix}\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\end{pmatrix}=

  \begin{vmatrix}
    a_1 & a_2 & a_3 \\
    b_1 & b_2 & b_3 \\
    c_1 & c_2 & c_3
  \end{vmatrix}.
\mathbf{a} \mathbf{b} (\mathbf{c} + \mathbf{d}) = \mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c} + \mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{d}.

Geometriai jelentése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A paralelepipedon térfogata (V) az alapterület (A) és a magasság (h) szorzata.

V = A \cdot h

Az a×b vektoriális szorzat nagysága éppen az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területe:

A=\left| \mathbf{a}\times\mathbf{b} \right|.

A paralelepipedon magassága a c vektor vetülete az a×b vektoriális szorzat irányára. Ha α szöget zárnak be egymással, akkor a skaláris szorzat definíciója szerint

 h = \left| \mathbf{c} \right| \cos \alpha 
   = \hat {\mathbf{e}}_{\left(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\right)} \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c}

Ebből következik, hogy

 V = A \cdot h
   = \left| \mathbf{a}\times\mathbf{b} \right| ( \hat {\mathbf{e}}_{\left(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\right)} \cdot  
          \mathbf{c})
   = \left(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\right) \cdot \mathbf{c}

Ha α = 90°, akkor ez a szorzat nulla. Ekkor a vektorok lineárisan összefüggnek, egy síkban fekszenek, más szóval komplanárisak.

Az előjeles térfogat negatív, ha α > 90°. Ekkor a vektoriális szorzat és a vetített magasság iránya ellentétes, mert a vektorok balsodrású rendszert képeznek.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Wolfgang Gawronski: Grundlagen der Linearen Algebra. Aula-Verlag, Wiesbaden 1996, ISBN 3-89104-566-2