Kifejtési tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A kifejtési tétel a mátrixok determinánsának kiszámítására használható matematikai tétel. Eszerint egy n × n-es mátrix determinánsának kiszámításához egy tetszőleges sor (vagy oszlop) minden elemét meg kell szoroznunk a hozzá tartozó előjeles aldeterminánssal, és összegeznünk kell a kapott számokat. (Ilyenkor beszélünk a determináns valamely i-edik sor (vagy oszlop) szerinti kifejtéséről.)

Előjeles aldetermináns[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Vegyünk egy n × n-es mátrixot. Ha elhagyjuk az i-edik sorát és a j-edik oszlopát, akkor egy (n–1)×(n–1)-es mátrix keletkezik. Az említett sor és oszlop metszéspontjában található elemhez tartozó előjeles aldetermináns nem más, mint a keletkezett (n–1)×(n–1)-es részmátrix determinánsának (-1)^{i+j}-szerese. Az aldeterminánsokat a megfelelő előjellel és a megfelelő elemmel összeszorozva és összegezve kapjuk a mátrix determinánsát.

A (-1)^{i+j} kifejezés –1 vagy +1 értéke megadja, hogy az aldetermináns átfordul-e vagy sem az ellentettjére. Könnyű megjegyezni: a bal fölső sarokban lévő elem esetén mindig +1, és utána sakktáblaszerűen váltakozva következik a –1 és a +1. Például 6×6-os esetben:


\begin{pmatrix}
+ & - & + & - & + & - \\
- & + & - & + & - & + \\
+ & - & + & - & + & - \\
- & + & - & + & - & + \\
+ & - & + & - & + & - \\
- & + & - & + & - & + \\
\end{pmatrix}

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az

A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} & a_{16} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} & a_{26} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} & a_{36} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} & a_{46} \\
a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55} & a_{56} \\
a_{61} & a_{62} & a_{63} & a_{64} & a_{65} & a_{66} \\
\end{pmatrix}

mátrix determinánsát szeretnénk a mátrix 4. sora szerint kifejteni. A megoldás


\det A = - a_{41}\det A_{41} + a_{42}\det A_{42} - a_{43}\det A_{43} + a_{44}\det A_{44} - a_{45}\det A_{45} + a_{46}\det A_{46},

mert mondjuk az a45 elemhez tartozó aldetermináns meghatározásához elhagyjuk a 4. sort és az 5. oszlopot a mátrixból:


\begin{array}{ c c c c|c|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} & a_{16} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} & a_{26} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} & a_{36} \\
\hline
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} & a_{46} \\
\hline
a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55} & a_{56} \\
a_{61} & a_{62} & a_{63} & a_{64} & a_{65} & a_{66} \\
\end{array}

\Rightarrow 

\begin{array}{ c c c c|c}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{16} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{26} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{36} \\
\hline
a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{56} \\
a_{61} & a_{62} & a_{63} & a_{64} & a_{66} \\
\end{array}.

A kapott mátrixot jelöljük A45-tel:


A_{45}=

\begin{pmatrix} 
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{16} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{26} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{36} \\
a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{56} \\
a_{61} & a_{62} & a_{63} & a_{64} & a_{66} \\
\end{pmatrix}.

Ezután kiszámítjuk az A45 determinánsának az értékét:

\det A_{45}=
\begin{vmatrix} 
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{16} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{26} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{36} \\
a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{56} \\
a_{61} & a_{62} & a_{63} & a_{64} & a_{66} \\
\end{vmatrix}.

Hasonlóan számoljuk ki az A mátrix 4. sorának többi eleméhez tartozó aldeterminánst is.

Az a45 elemhez tartozó előjel – (mivel (–1)4+5=(–1)9=–1), így az aldeterminánst –1-gyel megszorozva kell hozzáadni az összeghez.

A fenti táblázat 4. sorából is megkaphatjuk a többi aldeterminánshoz tartozó előjelet:


\begin{pmatrix}
+ & - & + & - & + & - \\
- & + & - & + & - & + \\
+ & - & + & - & + & - \\
\hline
- & + & - & + & - & + \\
\hline
+ & - & + & - & + & - \\
- & + & - & + & - & + \\
\end{pmatrix},

és így lesz az eredmény még egyszer leírva


\det A = - a_{41}\det A_{41} + a_{42}\det A_{42} - a_{43}\det A_{43} + a_{44}\det A_{44} - a_{45}\det A_{45} + a_{46}\det A_{46}.

Több sor vagy oszlop szerint[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kifejtés egyszerre több sor és oszlop szerint is végezhető.

Példa: egy 5 x 5-ös mátrix determinánsa a második és az ötödik sor szerint kifejtve:


\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} \\
a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55} \\
\end{vmatrix}=
=
\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22} \\ 
a_{51} & a_{52} \\ \end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
a_{13} & a_{14} & a_{15} \\
a_{33} & a_{34} & a_{35} \\
a_{43} & a_{44} & a_{45} \\
\end{vmatrix}-
\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23} \\ 
a_{51} & a_{53} \\ \end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{14} & a_{15} \\
a_{32} & a_{34} & a_{35} \\
a_{42} & a_{44} & a_{45} \\
\end{vmatrix}+
+
\begin{vmatrix}a_{21} & a_{24} \\ 
a_{51} & a_{54} \\ \end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} & a_{15} \\
a_{32} & a_{33} & a_{35} \\
a_{42} & a_{43} & a_{45} \\
\end{vmatrix}-
\begin{vmatrix}a_{21} & a_{25} \\ 
a_{51} & a_{55} \\ \end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{42} & a_{43} & a_{44} \\
\end{vmatrix}+
+
\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23} \\ 
a_{52} & a_{53} \\ \end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{14} & a_{15} \\
a_{31} & a_{34} & a_{35} \\
a_{41} & a_{44} & a_{45} \\
\end{vmatrix}-
\begin{vmatrix}a_{22} & a_{24} \\ 
a_{52} & a_{54} \\ \end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} & a_{15} \\
a_{31} & a_{33} & a_{35} \\
a_{41} & a_{43} & a_{45} \\
\end{vmatrix}+
+
\begin{vmatrix}a_{22} & a_{25} \\ 
a_{52} & a_{55} \\ \end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} & a_{14} \\
a_{31} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{43} & a_{44} \\
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}a_{23} & a_{24} \\ 
a_{53} & a_{54} \\ \end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{15} \\
a_{31} & a_{32} & a_{35} \\
a_{41} & a_{42} & a_{45} \\
\end{vmatrix}-
-
\begin{vmatrix}a_{23} & a_{25} \\ 
a_{53} & a_{55} \\ \end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{14} \\
a_{31} & a_{32} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{44} \\
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}a_{24} & a_{25} \\ 
a_{54} & a_{55} \\ \end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} \\
\end{vmatrix}

Az első mátrix előjele például azért pozitív, mert sor- és oszlopindexeinek összege 10, ami páros. Itt az együttható mátrixban szereplő összes index számít.

Ferde kifejtés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ferde kifejtésnek nevezzük az a_{ij}A_{kl}, i \neq k, j \neq l alakú szorzatokat.

A ferde kifejtés tétele szerint ezek a szorzatok nem számítanak bele a mátrix determinánsába.

Megjegyzés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Programozói szempontból a kifejtési tétel alkalmazásánál sokkal célravezetőbb a Gauss-eliminációval való lépcsős alakra hozás (alsó vagy felső háromszögmátrix elég), majd a főátlóban lévő elemek összeszorzása. Ugyanis a kifejtés során annyira felhalmozódnak a számítási hibák, hogy elvész a numerikus információ.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Pelikán József: Algebra
  • Scharnitzky Tibor: Mátrixszámítás
  • Stoyan Gisbert–Takó Galina: Numerikus módszerek I.