Kifejtési tétel

A kifejtési tétel a mátrixok determinánsának kiszámítására használható matematikai tétel. Eszerint egy n × n-es mátrix determinánsának kiszámításához egy tetszőleges sor (vagy oszlop) minden elemét meg kell szoroznunk a hozzá tartozó előjeles aldeterminánssal, és összegeznünk kell a kapott számokat. (Ilyenkor beszélünk a determináns valamely i-edik sor (vagy oszlop) szerinti kifejtéséről.)

Előjeles aldetermináns

Vegyünk egy n × n-es mátrixot. Ha elhagyjuk az i-edik sorát és a j-edik oszlopát, akkor egy (n–1)×(n–1)-es mátrix keletkezik. Az említett sor és oszlop metszéspontjában található elemhez tartozó előjeles aldetermináns nem más, mint a keletkezett (n–1)×(n–1)-es részmátrix determinánsának $(-1)^{i+j}$-szerese. Az aldeterminánsokat a megfelelő előjellel és a megfelelő elemmel összeszorozva és összegezve kapjuk a mátrix determinánsát.

A $(-1)^{i+j}$ kifejezés –1 vagy +1 értéke megadja, hogy az aldetermináns átfordul-e vagy sem az ellentettjére. Könnyű megjegyezni: a bal fölső sarokban lévő elem esetén mindig +1, és utána sakktáblaszerűen váltakozva következik a –1 és a +1. Például 6×6-os esetben:

${\begin{pmatrix}+&-&+&-&+&-\\-&+&-&+&-&+\\+&-&+&-&+&-\\-&+&-&+&-&+\\+&-&+&-&+&-\\-&+&-&+&-&+\\\end{pmatrix}}$

Példa

Az

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}&a_{16}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}&a_{26}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}&a_{36}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&a_{45}&a_{46}\\a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{55}&a_{56}\\a_{61}&a_{62}&a_{63}&a_{64}&a_{65}&a_{66}\\\end{pmatrix}}$

mátrix determinánsát szeretnénk a mátrix 4. sora szerint kifejteni. A megoldás

$\det A=-a_{41}\det A_{41}+a_{42}\det A_{42}-a_{43}\det A_{43}+a_{44}\det A_{44}-a_{45}\det A_{45}+a_{46}\det A_{46},$

mert mondjuk az a₄₅ elemhez tartozó aldetermináns meghatározásához elhagyjuk a 4. sort és az 5. oszlopot a mátrixból:

${\begin{array}{c c c c|c|c}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}&a_{16}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}&a_{26}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}&a_{36}\\\hline a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&a_{45}&a_{46}\\\hline a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{55}&a_{56}\\a_{61}&a_{62}&a_{63}&a_{64}&a_{65}&a_{66}\\\end{array}}\Rightarrow {\begin{array}{c c c c|c}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{16}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{26}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{36}\\\hline a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{56}\\a_{61}&a_{62}&a_{63}&a_{64}&a_{66}\\\end{array}}.$

A kapott mátrixot jelöljük A₄₅-tel:

$A_{45}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{16}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{26}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{36}\\a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{56}\\a_{61}&a_{62}&a_{63}&a_{64}&a_{66}\\\end{pmatrix}}.$

Ezután kiszámítjuk az A₄₅ determinánsának az értékét:

$\det A_{45}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{16}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{26}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{36}\\a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{56}\\a_{61}&a_{62}&a_{63}&a_{64}&a_{66}\\\end{vmatrix}}.$

Hasonlóan számoljuk ki az A mátrix 4. sorának többi eleméhez tartozó aldeterminánst is.

Az a₄₅ elemhez tartozó előjel – (mivel (–1)⁴⁺⁵=(–1)⁹=–1), így az aldeterminánst –1-gyel megszorozva kell hozzáadni az összeghez.

A fenti táblázat 4. sorából is megkaphatjuk a többi aldeterminánshoz tartozó előjelet:

${\begin{pmatrix}+&-&+&-&+&-\\-&+&-&+&-&+\\+&-&+&-&+&-\\\hline -&+&-&+&-&+\\\hline +&-&+&-&+&-\\-&+&-&+&-&+\\\end{pmatrix}},$

és így lesz az eredmény még egyszer leírva

$\det A=-a_{41}\det A_{41}+a_{42}\det A_{42}-a_{43}\det A_{43}+a_{44}\det A_{44}-a_{45}\det A_{45}+a_{46}\det A_{46}.$

Több sor vagy oszlop szerint

A kifejtés egyszerre több sor és oszlop szerint is végezhető.

Példa: egy 5 x 5-ös mátrix determinánsa a második és az ötödik sor szerint kifejtve:

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&a_{45}\\a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{55}\\\end{vmatrix}}=$

$={\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{51}&a_{52}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{13}&a_{14}&a_{15}\\a_{33}&a_{34}&a_{35}\\a_{43}&a_{44}&a_{45}\\\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{51}&a_{53}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{14}&a_{15}\\a_{32}&a_{34}&a_{35}\\a_{42}&a_{44}&a_{45}\\\end{vmatrix}}+$

$+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{24}\\a_{51}&a_{54}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}&a_{15}\\a_{32}&a_{33}&a_{35}\\a_{42}&a_{43}&a_{45}\\\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{25}\\a_{51}&a_{55}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{42}&a_{43}&a_{44}\\\end{vmatrix}}+$

$+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{52}&a_{53}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{14}&a_{15}\\a_{31}&a_{34}&a_{35}\\a_{41}&a_{44}&a_{45}\\\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{24}\\a_{52}&a_{54}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}&a_{15}\\a_{31}&a_{33}&a_{35}\\a_{41}&a_{43}&a_{45}\\\end{vmatrix}}+$

$+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{25}\\a_{52}&a_{55}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}&a_{14}\\a_{31}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{23}&a_{24}\\a_{53}&a_{54}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{15}\\a_{31}&a_{32}&a_{35}\\a_{41}&a_{42}&a_{45}\\\end{vmatrix}}-$

$-{\begin{vmatrix}a_{23}&a_{25}\\a_{53}&a_{55}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{14}\\a_{31}&a_{32}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{44}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{24}&a_{25}\\a_{54}&a_{55}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}\\\end{vmatrix}}$

Az első mátrix előjele például azért pozitív, mert sor- és oszlopindexeinek összege 10, ami páros. Itt az együttható mátrixban szereplő összes index számít.

Ferde kifejtés

Ferde kifejtésnek nevezzük az $a_{ij}A_{kl},i\neq k,j\neq l$ alakú szorzatokat.

A ferde kifejtés tétele szerint ezek a szorzatok nem számítanak bele a mátrix determinánsába.

Megjegyzés

Programozói szempontból a kifejtési tétel alkalmazásánál sokkal célravezetőbb a Gauss-eliminációval való lépcsős alakra hozás (alsó vagy felső háromszögmátrix elég), majd a főátlóban lévő elemek összeszorzása. Ugyanis a kifejtés során annyira felhalmozódnak a számítási hibák, hogy elvész a numerikus információ.

Források

• Pelikán József: Algebra
• Scharnitzky Tibor: Mátrixszámítás (Műszaki, 1986) ISBN 963 1067 64 5
• Stoyan Gisbert–Takó Galina: Numerikus módszerek I. (ELTE–Typotex, 1993) ISBN 963 7546 31 6