Egységmátrix

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A lineáris algebrában az egységmátrix (vagy n-edrendű egységmátrix) olyan n × n-es négyzetes mátrix, melynek főátlójában csupa 1-esek, a többi helyen 0-k szerepelnek. Az egységmátrixot gyakran In-nel, En-nel vagy ha n adott, akkor I-vel vagy E-vel jelölik. (Néhány területen, például a kvantummechanikában megvastagított 1-gyel is jelölik 1).


I_1 = \begin{bmatrix}
1 \end{bmatrix}
,\  
I_2 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}
,\ 
I_3 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
,\ \cdots ,\ 
I_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}

Definiáló tulajdonság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha T test és Mn(T) a T feletti n × n-es mátrixok algebrája, akkor egyetlen olyan IMn(T) mátrix van, melyre teljesül, hogy minden AMn(T)-re:

IA = AI = A\,

és ez az n-edrendű egységmátrix.

Ugyanis világos, hogy a diagonális, a főátlójában csupa egyest tartalmazó mártix rendelkezik a fenti tulajdonsággal, továbbá ha lenne két ilyen, mondjuk I és I*, akkor az I = I \cdot I* = I* \cdot I* = I* egyenlőség miatt ezek egyenlők lennének. Az egyetlen ilyen tulajdonságú mátrix tehát az egységmártix.

Ez azt is jelenti, hogy I_n az n × n-es mátrixok multiplikatív csoportjának (a GL(n,T) csoportnak) egységeleme, illetve hogy az Mn(T) algebra egységelemes.

Általában, a T test feletti bármilyen mátrixon halmazában (melyben az összeadás és a szorzás csak parciálisan értelmezett, hisz csak a megfelelő alakú mátrixokkal végezhetők el) igaz az egységmátrixokra, hogy

I_mA = AI_n = A\,

és

BI_m = I_nB = B\,

minden A -val jelölt m × n-es és B -val jelölt n × m-es mátrixra.

Mint lineáris leképezés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha V a T test feletti n dimenziós vektortér, akkor a V egy B bázisára vonatkozóan felírható tetszőleges lineáris leképezés mátrixa. Ebből a szempontból az In egységmátrix az x \mapsto x identitás leképezés mátrixa akármelyik bázisban:

[I]_B=[I]_C=I_n\,

ha B és C a V tetszőleges bázisa.

Világos, hogy az identitás leképezés és az egységmátrixszal való szorzás azonosítható, így

  • \mathrm{det}(I)=1 (hiszen nem növel térfogatot),
  • egyetlen sajátértéke az 1 és minden vektor ezzel a számmal sajátvektora,
  • minden bázisban [I]=\mathrm{diag}(1,1,...,1_{(n)}) a diagonalizációja (azaz önmaga),
  • amiből a nyoma: \mathrm{trace}(I)=n
  • \mathrm{e}^I=\mathrm{e}\cdot I

Ez utóbbi azért van, mert tetszőleges kvadratikus A mátrixra:


\mathrm{e}^A =\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}A^k = I + A + \frac{1}{2} A^2 + \cdots

így az A = I esetben a sorfejés jobb oldalának főátlójában a

\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}

sorösszeg van, ami e, míg a főátlón kívüli elemekre a jobb oldal 0-t ad.

Kronecker-szimbólum[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az n×n-es mátrixok nem mások, mint az (i,j) alakú párokon értelmezett T-be képező függvények, ahol 1 ≤ i, jn. Ebben az értelemben az egységmátrix azonos a Kronecker-féle δ függvénnyel, melyre:

\delta_{ij}=\left\{\begin{matrix}
1, & \mathrm{ha} & i=j\\
0, & \mathrm{ha} & i\ne j
\end{matrix}\right.

és így

(I_n)_{ij} = \delta_{ij}\,

minden 1 ≤ i, jn-re.

Egységgyökök[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy n × n-es A mátrixot k-adik egységgyöknek nevezünk, ha az A mátrix k-adik hatványa az n-ed rendű egységmátrix. Például a 2 × 2-es egységnégyzetgyökök:

\begin{pmatrix}
\pm d & \frac{1-d^2}{c}\\
c & \mp d
\end{pmatrix} ill. \begin{pmatrix}
\pm d & c\\
 \frac{1-d^2}{c} & \mp d
\end{pmatrix}

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]