Egységmátrix

A lineáris algebrában az egységmátrix (vagy n-ed rendű egységmátrix) olyan n × n-es négyzetes mátrix, melynek főátlójában csupa 1-esek, a többi helyen 0-k szerepelnek. Az egységmátrixot gyakran I_n-nel, E_n-nel vagy ha n adott, akkor I-vel vagy E-vel jelölik. (Néhány területen, például a kvantummechanikában megvastagított 1-gyel is jelölik 1).

$I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} ,\ I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ \cdots ,\ I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$

Definiáló tulajdonság

Ha T test és M_n(T) a T feletti n × n-es mátrixok algebrája, akkor egyetlen olyan $I$ ∈ M_n(T) mátrix van, melyre teljesül, hogy minden A ∈ M_n(T)-re:

$IA = AI = A\,$

és ez az n-edrendű egységmátrix.

Ugyanis világos, hogy a diagonális, a főátlójában csupa egyest tartalmazó mártix rendelkezik a fenti tulajdonsággal, továbbá ha lenne két ilyen, mondjuk $I$ és $I$*, akkor az $I$ = $I$ $\cdot$ $I$* = $I$* $\cdot$ $I$* = $I$* egyenlőség miatt ezek egyenlők lennének. Az egyetlen ilyen tulajdonságú mátrix tehát az egységmártix.

Ez azt is jelenti, hogy $I_n$ az n × n-es mátrixok multiplikatív csoportjának (a GL(n,T) csoportnak) egységeleme, illetve hogy az M_n(T) algebra egységelemes.

Általában, a T test feletti bármilyen mátrixon halmazában (melyben az összeadás és a szorzás csak parciálisan értelmezett, hisz csak a megfelelő alakú mátrixokkal végezhetők el) igaz az egységmátrixokra, hogy

$I_mA = AI_n = A\,$

és

$BI_m = I_nB = B\,$

minden A -val jelölt m × n-es és B -val jelölt n × m-es mátrixra.

Mint lineáris leképezés

Ha V a T test feletti n dimenziós vektortér, akkor a V egy B bázisára vonatkozóan felírható tetszőleges lineáris leképezés mátrixa. Ebből a szempontból az I_n egységmátrix az x $\mapsto$ x identitás leképezés mátrixa akármelyik bázisban:

$[I]_B=[I]_C=I_n\,$

ha B és C a V tetszőleges bázisa.

Világos, hogy az identitás leképezés és az egységmátrixszal való szorzás azonosítható, így

• $\mathrm{det}(I)=1$ (hiszen nem növel térfogatot),
• egyetlen sajátrétéke az 1 és minden vektor ezzel a számmal sajátvektora,
• minden bázisban $[I]=\mathrm{diag}(1,1,...,1_{(n)})$ a diagonalizációja (azaz önmaga),
• amiből a nyoma: $\mathrm{trace}(I)=n$
• $\mathrm{e}^I=\mathrm{e}\cdot I$

Ez utóbbi azért van, mert tetszőleges kvadratikus A mátrixra:

$\mathrm{e}^A =\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}A^k = I + A + \frac{1}{2} A^2 + \cdots$

így az A = $I$ esetben a sorfejés jobb oldalának főátlójában a

$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$

sorösszeg van, ami e, míg a főátlón kívüli elemekre a jobb oldal 0-t ad.

Kronecker-szimbólum

Az n×n-es mátrixok nem mások, mint az (i,j) alakú párokon értelmezett T-be képező függvények, ahol 0 < i, j < n + 1. Ebben az értelemben az egységmátrix azonos a Kronecker-féle δ függvénnyel, melynek elemei:

$\delta_{ij}=\left\{\begin{matrix} 1, & \mathrm{ha} & i=j\\ 0, & \mathrm{ha} & i\ne j \end{matrix}\right.$

és így

$(I_n)_{ij} = \delta_{ij}\,$

minden 0 < i, j < n + 1 -re.

Egységgyökök

Egy n × n-es A mátrixot k-adik egységgyöknek nevezünk, ha az A mátrix k-adik hatványa az n-ed rendű egységmátrix. Például a 2 × 2-es egységnégyzetgyökök:

$\begin{pmatrix} \pm d & \frac{1-d^2}{c}\\ c & \mp d \end{pmatrix}$ ill. $\begin{pmatrix} \pm d & c\\ \frac{1-d^2}{c} & \mp d \end{pmatrix}$

Források

• Identity Matrix in MathWorld
• Identity Matrix in PlanetMath