Egységmátrix

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A lineáris algebrában az egységmátrix (vagy n-ed rendű egységmátrix) olyan n × n-es négyzetes mátrix, melynek főátlójában csupa 1-esek, a többi helyen 0-k szerepelnek. Az egységmátrixot gyakran In-nel, En-nel vagy ha n adott, akkor I-vel vagy E-vel jelölik. (Néhány területen, például a kvantummechanikában megvastagított 1-gyel is jelölik 1).

I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} ,\ I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ \cdots ,\ I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Definiáló tulajdonság

Ha T test és Mn(T) a T feletti n × n-es mátrixok algebrája, akkor egyetlen olyan I ∈ Mn(T) mátrix van, melyre teljesül, hogy minden A ∈ Mn(T)-re:

IA = AI = A\,

és ez az n-edrendű egységmátrix.

Ugyanis világos, hogy a diagonális, a főátlójában csupa egyest tartalmazó mártix rendelkezik a fenti tulajdonsággal, továbbá ha lenne két ilyen, mondjuk I és I*, akkor az I = I \cdot I* = I* \cdot I* = I* egyenlőség miatt ezek egyenlők lennének. Az egyetlen ilyen tulajdonságú mátrix tehát az egységmártix.

Ez azt is jelenti, hogy In az n × n-es mátrixok multiplikatív csoportjának (a GL(n,T) csoportnak) egységeleme, illetve hogy az Mn(T) algebra egységelemes.

Általában, a T test feletti bármilyen mátrixon halmazában (melyben az összeadás és a szorzás csak parciálisan értelmezett, hisz csak a megfelelő alakú mátrixokkal végezhetők el) igaz az egységmátrixokra, hogy

I_mA = AI_n = A\,

és

BI_m = I_nB = B\,

minden A -val jelölt m × n-es és B -val jelölt n × m-es mátrixra.

[szerkesztés] Mint lineáris leképezés

Ha V a T test feletti n dimenziós vektortér, akkor a V egy B bázisára vonatkozóan felírható tetszőleges lineáris leképezés mátrixa. Ebből a szempontból az In egységmátrix az x \mapsto x identitás leképezés mátrixa akármelyik bázisban:

[I]_B=[I]_C=I_n\,

ha B és C a V tetszőleges bázisa.

Világos, hogy az identitás leképezés és az egységmátrixszal való szorzás azonosítható, így

  • det(I) = 1 (hiszen nem növel térfogatot),
  • egyetlen sajátrétéke az 1 és minden vektor ezzel a számmal sajátvektora,
  • minden bázisban [I] = diag(1,1,...,1(n)) a diagonalizációja (azaz önmaga),
  • amiből a nyoma: trace(I) = n
  • \mathrm{e}^I=\mathrm{e}\cdot I

Ez utóbbi azért van, mert tetszőleges kvadratikus A mátrixra:

\mathrm{e}^A =\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}A^k = I + A + \frac{1}{2} A^2 + \cdots

így az A = I esetben a sorfejés jobb oldalának főátlójában a

\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}

sorösszeg van, ami e, míg a főátlón kívüli elemekre a jobb oldal 0-t ad.

[szerkesztés] Kronecker-szimbólum

Az n×n-es mátrixok nem mások, mint az (i,j) alakú párokon értelmezett T-be képező függvények, ahol 0 < i, j < n + 1. Ebben az értelemben az egységmátrix azonos a Kronecker-féle δ függvénnyel, melynek elemei:

\delta_{ij}=\left\{\begin{matrix} 1, & \mathrm{ha} & i=j\\ 0, & \mathrm{ha} & i\ne j \end{matrix}\right.

és így

(I_n)_{ij} = \delta_{ij}\,

minden 0 < i, j < n + 1 -re.

[szerkesztés] Egységgyökök

Egy n × n-es A mátrixot k-adik egységgyöknek nevezünk, ha az A mátrix k-adik hatványa az n-ed rendű egységmátrix. Például a 2 × 2-es egységnégyzetgyökök:

\begin{pmatrix} \pm d & \frac{1-d^2}{c}\\ c & \mp d \end{pmatrix} ill. \begin{pmatrix} \pm d & c\\ \frac{1-d^2}{c} & \mp d \end{pmatrix}

[szerkesztés] Külső hivatkozások

A lap eredeti címe: „http://hu.wikipedia.org/wiki/Egys%C3%A9gm%C3%A1trix”