Általános lineáris csoport

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Általános lineáris csoportnak (vagy egyszerűen lineáris csoportnak) nevezzük és GL(V)-vel jelöljük a V (véges vagy végtelen dimenziós) vektortér invertálható lineáris transzformációinak csoportját. (A szokásos jelölésben a GL az angol 'általános lineáris' jelentésű general linear szavak rövidítése.) Ha V véges dimenziós vektortér a K test felett, akkor szokás a GL(n,K) vagy a GL_n(K) jelölést használni GL(V) helyett (ahol n a vektortér dimenziója), ami értelmes, hiszen a K feletti n-dimenziós vektorterek izomorfak egymással, és izomorf vektorterek transzformációcsoportjai is nyilván izomorfak. Ha K véges test, amelynek elemszáma q, akkor a GL(n,K) helyett szokásos a GL(n,q) jelölés is. (Itt q nyilván prímhatvány.)

Általános lineáris csoport mint mátrixok szorzáscsoportja[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A véges dimenziós esetben GL(n,K) elemei megfeleltethetők K feletti n \times n-es invertálható mátrixoknak, és így GL(n,K) megegyezik (izomorf) az ezek alkotta csoporttal. Ez a reprezentáció gyakran megkönnyíti a GL(n,K) elemeivel való számolást.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • GL(2,\mathbb R) a sík lineáris transzformációinak csoportja.
  • GL(3,8) a nyolcelemű test feletti 3 \times 3-as, nemnulla determinánsú mátrixok szorzáscsoportja.

Elemszám[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha K végtelen test, vagy V végtelen dimenziós, K felett, akkor GL(V) végtelen rendű csoport. Azonban véges n és q esetén GL(n,q) is véges, mégpedig

\displaystyle |GL(n,q)| = \prod_{j=1}^{n} \left({ q^n -q^{j-1} }\right)

Ezt úgy láthatjuk be, hogy megszámoljuk, hány n \times n-es invertálható mátrixot állíthatunk össze a q-elemű test elemeiből. Egy ilyen mátrix első sorában bármilyen n-es állhat, kivéve a csupa nullából állót; az ilyenek száma q^n - 1. A második sorban bármilyen n-es állhat, ami az elsőnek nem skalárszorosa; ilyenekből q^n - q darab van. A harmadikban ismét csak bármilyen n-es állhat, ami az első kettőnek nem skalárszorosa; ilyenekből q^n - q^2 darab van. Ugyanezt a gondolatmenetet folytatva a j-edik sorba q^n -q^{j-1} n-est választhatunk. Mivel az egyes sorokat a fenti feltételek mellett egymástól függetlenül tölthetjük meg, az összes lehetséges mátrix száma a fenti variációk szorzata, ami éppen az igazolni kívánt összefüggést adja.

Néhány konkrét véges általános lineáris csoport[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Alaptest rendje Mátrixok rendje Csoport szokásos elnevezése Csoport rendje
2 1 Triviális csoport 1
3 1 \mathbb{Z}_2, ötelemű ciklikus csoport 2
4 1 \mathbb{Z}_3, ötelemű ciklikus csoport 3
5 1 \mathbb{Z}_4, ötelemű ciklikus csoport 4 = 2^2
2 2 S_3, harmadfokú szimmetrikus csoport 6 = 2 \cdot 3
3 2 GL(2,3) általános lineáris csoport 48 = 2^4 \cdot 3
4 2 A_5 alternáló csoport 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5
5 2 GL(2,5) általános lineáris csoport 240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5
2 3 GL(3,2) általános lineáris csoport 168 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]