Kvaterniócsoport

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Kvaterniócsoportnak nevezzük (és rendszerint Q8-cal jelöljük) azt a nyolcelemű csoportot, amelyet az alábbi generátorok és definiáló relációk határoznak meg:

\langle i,j,k \mid i^2 = j^2 = k^2 = ijk \rangle

Az egységelemet szokás szerint 1 jelöli, i^2 = j^2 = k^2 = ijk szokásos jelölése -1, és az i^3, j^3, k^3 elemeket rendre a -i,-j,-k szimbólumokkal jelöljük. (A kvaterniócsoportban nincs definiálva az összeadás, tehát a mínuszjelek itt nem az ellentettképzést jelölik, csak puszta szimbólumok. Azonban a csoport beágyazható a kvaterniók algebrájába (Q8 a négy bázis-egységvektor által generált szorzáscsoport), és itt a mínuszjeles elemek éppen egybeesnek a bázis-egységvektorok ellentettjeivel.

A kvaterniócsoport tehát olyan nyolcelemű csoport, amelyet az 1,-1,i,-i,j,-j,k,-k elemek alkotnak, ahol 1 az egységelem, (-1)^2 = 1 és az összes többi elem a -1 négyzetgyöke. (-1)i = -i, (-1)j = -j, (-1)k= -k, továbbá ij = k, ji = -k, jk = i, kj = -i, ki = j, ik = -j. Nem kommutatív.

A kvaterniócsoportot William Rowan Hamilton fedezte fel a 19. században.

Cayley-táblázat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kvaterniócsoport szorzótáblája a következő:

1 −1 i −i j −j k −k
1 1 −1 i −i j −j k −k
−1 −1 1 −i i −j j −k k
i i −i −1 1 k −k −j j
−i −i i 1 −1 −k k j −j
j j −j −k k −1 1 i −i
−j −j j k −k 1 −1 −i i
k k −k j −j −i i −1 1
−k −k k −j j i −i 1 −1


Tekintve, hogy a kvaterniócsoport nem kommutatív, lényeges, hogy a fenti táblázatban a bal szélső oszlopban lévő elemmel szorzunk balról, és a legfelső sorban lévő elemmel szorzunk jobbról.

Alapvető tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kvaterniócsoport

Analógia a vektoriális szorzattal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A háromdimenziós euklideszi tér bázis-egységvektorait a szokásos módon i-vel, j-vel és k-val jelölve, ezek vektoriális szorzása analóg módon viselkedik a kvaterniócsoportban érvényes szorzási szabályokkal:

\begin{alignat}{2}
ij & = k, & ji & = -k, \\
jk & = i, & kj & = -i, \\
ki & = j, & ik & = -j. 
\end{alignat}

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]