Októniók

A matematikában az októniók egy normált osztó algebra a valós számok felett, egyfajta hiperkomplex számrendszer. Az októniókat általában az $\mathbb {O}$ jellel jelölik. Az „oktonokat” először 1843-ban John Thomas Graves írta le William Rowan Hamiltonnak írt levelében. Ettől függetlenül leírásukat Arthur Cayley adta ki (először) algebrai műveiben 1845-ben.

Oktonionok szorzása a Fano sík segítségével

Az októnióknak nyolc dimenziójuk van; kétszer annyi dimenzió, mint a kvaternióknak, és az októniók a kvaterniók kiterjesztései. Nem kommutatívak és nem asszociatívak, de kielégítik az asszociativitás gyengébb formáját; nevezetesen alternatívak. Emellett hatvány-asszociatívak is.

Az októniók nem olyan ismertek, mint a kvaterniók és a komplex számok, amelyeket sokkal szélesebb körben tanulmányoznak és használnak. Az októniók kapcsolatban állnak kivételes struktúrákkal a matematikában, köztük a kivételes Lie-csoportokkal. Az októnióknak alkalmazásai vannak olyan területeken, mint a húrelmélet, a speciális relativitás és a kvantumlogika. Az októniók Cayley–Dickson-konstrukciójának alkalmazása az októniókból a szedéniókat eredményezi.

Irodalom

• Ebbinghaus et al.: Zahlen. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-55654-0
• Bartel Leendert van der Waerden: A history of Algebra. Springer, Heidelberg 1986.
• Ruth Moufang: Zur Struktur von Alternativkörpern. In: Math. Ann. 110, 1934, 416. oldal Digitalisat
• John Baez: The Octonions. In: Bull. Amer. Math. Soc. 39, 2002, 145–205. oldal (math.ucr.edu).
• John Horton Conway, Derek A. Smith: On Octonions and Quaternions. Natick MA: A. K. Peters, 2003, 1-56881-134-9