Riemann-féle zéta-függvény

A Riemann-féle zéta-függvény a számelmélet, ezen belül az analitikus számelmélet legfontosabb komplex változós függvénye. Különböző tulajdonságai szorosan összefüggenek a prímszámok eloszlásának kérdéseivel. A nemtriviális zérushelyeire vonatkozó Riemann-sejtés sokak szerint a matematika legfontosabb megoldatlan problémája.

Definíció

A Riemann-féle ζ(s) függvényt a

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$

Dirichlet-sorral definiáljuk ott, ahol ez konvergens, azaz az 1-nél nagyobb valós résszel rendelkező komplex s értékekre. (Az analitikus számelméletben a komplex számokat hagyományosan s=σ+it alakban írják.)

ζ(s) analitikus folytatással az egész síkon meromorf függvénnyé terjeszthető ki, az alábbi módon:

$\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s) \!,$

Aminek egyetlen elsőrendű pólusa 1-ben van, az s=-2, -4, … ( ahol a szinusz nulla, és a gamma-függvény véges értéket vesz fel) helyeken zérushelyei vannak, továbbá végtelen sok zérushelye van a $0\leq\sigma\leq1$ sávban. Ez az úgynevezett kritikus sáv.

A függvény értékei egész helyeken

A zéta-függvény értékeit pozitív, páros helyeken Euler határozta meg:

$\zeta(2n) = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}$

ahol $B_n$ az n-edik Bernoulli-szám.

Speciálisan adódik a híres

$\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

formula, aminek meghatározása sokak hiábavaló próbalkozása után, először Eulernek sikerült (ez volt az úgynevezett bázeli probléma). Ismert továbbá, hogy $\zeta(2n)$ $\pi^{2n}$ racionális többszöröse.

A $\zeta(3),\zeta(5),\zeta(7),\dots$ értékekről sokkal kevesebbet tudunk. Hosszú ideig az is ismeretlen volt, hogy $\zeta(3)$ irracionális szám-e. Ezt végül 1977-ben Apéry bizonyította be. 2001-ben Keith Ball és Tanguy Rivoal igazolta, hogy a Q feletti, $\zeta(3),\zeta(5),\dots$ által generált vektortér végtelendimenziós. 2002-ben Rivoal bebizonyította, hogy $\zeta(5),\zeta(7),\dots,\zeta(21)$ valamelyike irracionális. Ezt V. Zudilin megjavította arra az eredményre, hogy $\zeta(5),\zeta(7),\zeta(9),\zeta(11)$ valamelyike irracionális.

Euler heurisztikája

A $\zeta$-függvény nempozitív egész helyein felvett értékei a következőképpen adhatók meg:

$\zeta(0)=-\frac{1}{2}$ és $\zeta(1-k)=-\frac{B_k}{k}\quad(k=2,3,\dots)$.

Érdekes módon az utóbbi értékeket Euler heurisztikus módon meghatározta. A $\zeta(-1)$-re vonatkozó okoskodása, azaz $1+2+3+\cdots=-\frac{1}{12}$ „igazolása” a következő volt:

Legyen $x=1-1+1-1+1\cdots$. Ezt egy taggal eltolva $x=0+1-1+1-1+\cdots$ adódik. A két sort tagról tagra összeadva $2x=1$-et kapunk, azaz $x=\frac{1}{2}$. Hasonlóan legyen $y=1-2+3-4+\cdots$. Ismét eltolva: $y=0+1-2+3-4+\cdots$. Megint tagonként összeadva a két sort, azt kapjuk, hogy $2y=1-1+1-1+\cdots=x=\frac{1}{2}$, azaz $y=\frac{1}{4}$. Legyen végül $z=1+2+3+\cdots$. Ekkor $z=y+4z$, mivel az $1-2+3-4+\cdots$ sorból az $1+2+3+\cdots$ sort úgy kaphatjuk, hogy a páros sorszámú tagokhoz rendre hozzáadjuk a sor $4+8+12+\cdots=4(1+2+3+\cdots)$ tagjait. Innen $z=-\frac{y}{3}=-\frac{1}{12}$ adódik.

Kapcsolat a prímszámok eloszlásával

Már Euler felfedezte a

$\begin{align} \zeta(s)& = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}\\ & = \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{8^s} + \dots \right) \cdot \left (1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \frac{1}{27^s} + \dots \right ) \cdots \end{align}$

szorzatelőállítást, ami konvergens minden olyan s=σ+ti alakú komplex számra, ahol σ>1. Itt a p változó a prímszámokon fut végig. Valóban, ha a jobb oldali összegeket kiszorozzuk, akkor, a számelmélet alaptételének értelmében minden $1/n^s$ alakú tagot megkapunk, éspedig pontosan egyszer. Az átrendezés jogosságát az adja, hogy a feltétel miatt a szereplő sor abszolút konvergens.

A függvényegyenlet

A függvényegyenlet összekapcsolja a függvény értékeit az s és az 1-s helyeken. Vezessük be a

$\xi(s) = \pi^{-s/2}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)$

függvényt. A $\xi(s)$ függvény az egész komplex számsíkon analitikus és csak a kritikus sávban vannak zérushelyei (amelyek azonosak a zéta-függvény zérushelyeivel). Ekkor $\xi(s) = \xi(1 - s)$ teljesül.

A függvényegyenlet aszimmetrikus formája:

$\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s).$

A $\xi(s)$ függvény Weierstrass-féle szorzatelőállítása:

$\xi(s)=\frac{1}{2}e^{(-\frac{\gamma}{2}-1+\frac{1}{2}\log 4\pi)s}\prod_{\rho}\left(1-\frac{s}{\rho}\right)e^{\frac{s}{\rho}}$

ahol $\rho$ végigfut $\zeta(s)$ nemtriviális gyökein.

A gyökök kapcsolata a prímszámok eloszlásával

A gyökök közvetlen kapcsolatba hozhatók a prímszámok eloszlásával a következő képlettel:

$\psi(x)=x-\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}-\sum_{\rho}\frac{x^\rho}{\rho}-\frac{1}{2}\log(1-x^{-2})$

ahol $\rho$ a nemtriviális gyökökön fut végig és

$\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Lambda(n),$

ahol $\Lambda(n)$ a von Mangoldt-féle függvény, azaz $\Lambda(n)=\log p$, ha $n=p^\alpha$, egyébként 0. Mivel $\psi(x)$ a prímhatvány helyeken ugrik, a fenti képlet ezekre a számokra csak azzal a korrekcióval igaz, hogy ilyen x esetén az utolsó tag $\Lambda(x)$ helyett $\Lambda(x)/2$. Egyszerű okoskodással belátható, hogy $\psi(x)$ minél közelebb van $x$-hez, annál közelebb van $\pi(x)$ $\text{Li}(x)$-hez. Így például ψ(x)∼x ekvivalens π(x)∼Li(x)-szel, azaz a prímszámtétellel. A jobb oldalon szereplő $x^\rho/\rho$ tagok $\rho=\alpha+it$ esetén így alakíthatók: $x^\alpha e^{it\log x}/\rho$ tehát abszolút értékük kb $x^\alpha$. Minél közelebb van a nemtriviális gyökök valós része ½-hez, annál közelebb van $\psi(x)$ $x$-hez. Konkrétan ψ(x)∼x ekvivalens azzal, hogy nincs $1+it$ alakú gyök és ha $1/2\leq\alpha<1$ olyan szám amire igaz, hogy minden gyök valós része legfeljebb $\alpha$, akkor $\psi(x)=x+O(x^\alpha \log^2 x)$ és így $\pi(x)=\text{Li}(x)+O(x^\alpha\log x)$.

A gyökök eloszlása

A ζ-fügvénynek végtelen sok zérushelye van a kritikus sávban. Riemann sejtette, hogy a $0\leq\sigma\leq 1$, $0\leq t\leq T$ téglalapban a zérushelyek száma

$N(T)=\frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi}-\frac{T}{2\pi}+O(\log T).$

Ezt von Mangoldt 1895-ben gyengébb hibataggal, majd 1905-ben ezzel a hibataggal bizonyította.

1899-ben de la Vallée Poussin igazolta, hogy nincs zérushely a

$\sigma>1-\frac{c}{\log t}$

tartományban. Ezt Littlewood 1922-ben a

$\sigma>1-\frac{c\log \log t}{\log t}$

tartományra, majd 1958-ban Korobov és Vinogradov a

$\sigma>1-\frac{c(\varepsilon)}{(\log t)^{2/3+\varepsilon}}$

tartományra javította ($\varepsilon>0$, tetszőleges).