Basel-probléma

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a Basel-probléma az analízis egy híres problémája, melyet Pietro Mengoli (1626–1686) olasz matematikus vetett fel 1644-ben, és Leonhard Euler (1707–1786) svájci matematikus oldott meg először 1735-ben. A problémát Euler általánosította, és az ötlet alapján Bernhard Riemann (1826–1866) német matematikus definiálta a zéta-függvényt (Riemann-féle zéta-függvény), és levezette alapvető tulajdonságait.

A problémát azért hívják „Basel”-nek, mert első megoldója, Euler, itt született, valamint a nevezetes Bernoulli család is innen származik, melynek matematikus tagja nem tudott megbirkózni ezzel a problémával. Az alapvető kérdés az volt, hogy vajon a


\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2}

kifejezés konvergens, és ha igen, akkor mi az értéke?

Ha sorbafejtjük, akkor a


\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} =
\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right)

végtelen sort kapjuk a természetes számok négyzetei reciprokainak összegére, melynek közelítő értéke: 1,644934[1].

A Basel-probléma azt kérdezi, hogy létezik-e egy zárt formula a kifejezésre, és mennyi az egzakt érték. Euler megtalálta a pontos értéket: \frac{\pi^2}{6}, és levezette az eredményt 1735-ben. A szigorúan precíz bizonyítást 1741-ben publikálta.[2] Utána még számos matematikus foglalkozott a témával, és produkált különféle bizonyításokat.

Euler megoldása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Euler eredeti levezetése igazolást igényelt. Ez meg is történt 100 évvel később, amikor Weierstrass bebizonyította Euler levezetését (Weierstrass-féle faktorizációs tétel).

Kövessük Euler gondolatmenetét: A szinusz függvény Taylor-sora:

 \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots.

x-szel elosztva mindkét oldalt:

 \frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots.

A sin(x)/x (sinc-függvény) az x tengely metszésénél x = n\cdot\pi ahol n = \pm1, \pm2, \pm3, \dots\,. Tegyük fel, hogy ezt a végtelen sort ki tudjuk fejezni lineáris tényezők szorzataként, figyelembe véve x zéró helyeit, ahogy véges polinomok esetén tesszük:


\begin{align}
\frac{\sin(x)}{x} & {} =
\left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots \\
& {} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots.
\end{align}

Ha kiszorozzuk és felírjuk az x2 tényezőket, akkor a sin(x)/x x2 -es tényezőire kapjuk:


-\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots \right) =
-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.

mivel az eredeti végtelen sorban az x2 együtthatója: -1/(3!) = -1/6, a két együtthatónak egyenlőnek kell lenni, és így:


-\frac{1}{6} =
-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.

Mindkét oldalt megszorozva -\pi^2 -tel, kapjuk a végeredményt


\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. (hely nélkül): Typotex Kiadó. 2009. 109–113. o. ISBN 9789632790268  
  • Derbyshire, John: Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. (hely nélkül): Joseph Henry Press. 2003. ISBN 0309085497  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]