Riemann-sejtés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Riemann-sejtés, amelyet először Bernhard Riemann fogalmazott meg 1859-ben, egyetlen számelméleti tárgyú dolgozatában, a Riemann-féle zéta-függvény zérushelyeinek eloszlásával foglalkozik (és így a prímszámok lehető legegyenletesebb eloszlását állítja). Sokan (így például Erdős Pál is), az egész matematika legfontosabb problémájának, koronagyémántjának tartják. Egyike a Hilbert-problémáknak, és az egymillió dollárt érő millenniumi problémáknak is. A legtöbb matematikus igaznak tartja, bár például John Edensor Littlewood és Atle Selberg hangoztatott kétségeket.

A Riemann-féle zéta-függvény ζ(s) egyváltozós, komplex számokon értelmezett függvény, értelmezési tartománya a teljes komplex számsík, az s = 1 eset kivételével. Ha s>1 valós szám, akkor a konvergens


\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}

sor állítja elő, ez még akkor is konvergens, ha s komplex, de valós része 1-nél nagyobb. Így például az ismert Euler-féle formula miatt ζ(2)=π2/6. Ha s valós része nem 1-nél nagyobb, akkor analitikus folytatással kapjuk a függvény értékeit.

Vannak úgynevezett triviális gyökhelyei az s = −2, s = −4, s = −6, … értékeknél. A Riemann-sejtés a nem triviális esetekkel foglalkozik, és kimondja:

A Riemann-féle ζ-függvény minden nem triviális gyökének a valós része 1/2.

Tehát a nemtriviális gyökök az 1/2 + it alakú számokból álló úgynevezett kritikus egyenesen vannak, ahol t valós szám és i a képzetes egység.

Ekvivalens állítások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Számos, ártatlannak tűnő állítás valójában ekvivalens a Riemann-hipotézissel, például:

1. minden n\geq 100 természetes számra teljesül

|\log([1,2,\dots,n])-n|\leq\sqrt{n}\left(\log n\right)^2

ahol [1,2,\dots,n] az első n szám legkisebb közös többszörösét jelöli.

2. Robin tétele: Guy Robin 1984-ben bizonyította, hogy a következő állítás:

 \sigma(n)<e^\gamma n\log \log n minden n > 5040-re;

ahol σ(n) az osztóösszeg-függvény és γ az Euler-konstans; szintén ekvivalens a Riemann-sejtéssel.[1]

3. Lagarias tétele: 2002-ben Jeffrey Lagarias megmutatta, hogy a Riemann-sejtés ekvivalens a σ(n) osztóösszeg-függvényre vonatkozó következő felső becsléssel:

 \sigma(n) \le H_n + \ln(H_n)e^{H_n}

minden n természetes számra, ahol Hn a harmonikus sorozat (H_{n} \ := \ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}).[2]

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Gyökmentes tartomány[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az analitikus számelméletben a komplex számokat általában s=σ+ti alakban szokták felírni, tehát σ a valós rész, t a képzetes rész. A sejtés tehát az, hogy a 0≤σ≤1 sávba eső gyökökre σ=½ teljesül. Először Hadamard és Charles Jean de la Vallée-Poussin igazolta, hogy nincs a σ=1 egyenesen gyök. Ebből már következik a prímszámtétel és mint utóbb kiderült, ekvivalens is vele. De la Vallée Poussin azt is igazolta, hogy ha s=σ+ti, akkor

\sigma< 1- \frac{c}{\log t}

teljesül.

Ezt Littlewood javította meg 1922-ben:

\sigma< 1- \frac{c \log\log t}{\log t}.

A következő eredményt Korobov és Vinogradov adta 1958-ban:

\sigma< 1- \frac{c}{(\log t)^{2/3+\varepsilon}}

minden ε>0-ra.

A legjobb eredmény szerint[3] ha |t| ≥ 3, akkor

\sigma< 1-\frac{1}{57,45(\log{|t|})^{3/2}(\log{\log{|t|}})^{1/3}}.

Általánosítási kísérlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Pólya György 1919-ben felállította azt az erősebb sejtést, hogy tetszőleges x természetes számra azon n\leq x számok száma, amiknek páratlan sok prímtényezője van (összesen), legalább annyi, mint amennyinek páros. Ezt C. Brian Haselgrove 1958-ban megcáfolta, nem igaz például x=906180359-re.

Hamis riasztások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • 1885-ben Stieltjes rövid jegyzetet publikált a párizsi akadémia Comptes Rendusjében és egy Hermite-nek írt levelében megerősítette, hogy bebizonyította a Mertens-sejtést, ami erősebb, mint a Riemann-sejtés. Bizonyítást azonban haláláig nem publikált, és jegyzetei között sem találták nyomát.
  • A kiváló matematikus, Johan Jensen 1899-es cikkében megemlítette, hogy bebizonyította a Riemann-sejtést.
  • 1943-ban Hans Rademacher az utolsó pillanatban vonta vissza cikkét a Transactions of the American Mathematical Society c. folyóiratból, miután Siegel megtalálta a hibát.
  • 1961-ben az odesszai egyetem folyóiratában publikálta hibás bizonyítását N. I. Gavrilov. Később külön brosúrában majd könyvben is megjelentette, az ogyesszai illetve a lembergi egyetem kiadásában.
  • 2004. június 8-án a Purdue Egyetem sajtóközleményében jelentette be Louis de Branges, hogy fáradozásai sikerrel jártak: bizonyítását feltette a világhálóra. Sajnos ebben egy olyan megközelítést használt, amelynek a cáfolatát már 1998-ban bemutatták.[4] De Branges ezen kívül még számos hibás bizonyítást adott az invariáns alterek problémájára, a mérhető számosságok nemlétezésére és a Riemann-sejtésre. A Bieberbach-problémára adott 1984-es bizonyítása azonban utóbb helyesnek (pontosabban javíthatónak) bizonyult.
  • 2007-ben tette közzé a Riemann-sejtés cáfolatát Tribikram Pati. Bizonyítását hibásnak mutatta ki például Bernhard Johann Krötz [5]

Ismeretterjesztő könyvek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Robin, G.: Grandes Valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann. J. Math. Pures Appl. 63, 187-213, 1984. Robin cikke.
  2. Lagarias, J.: An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis. Amer. Math. Monthly 109 (2002), 534--543.
  3. Ford, K. Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function, Proc. London Math. Soc. (3) 85 (2002), pp. 565-633
  4. Matthew Watkins: proposed (dis)proofs of the Riemann Hypothesis
  5. Jason Dyer: Riemann Hypothesis disproof #296