Dirichlet-karakter

Az analitikus számelmélet egyik fontos eszköze, a Dirichlet-karakter (röviden: karakter) olyan χ függvény, ami a pozitív egészeket komplex számokra képezi, továbbá:

• van olyan pozitív egész k, hogy minden n-re χ(n) = χ(n + k) teljesül, tehát a karakter periodikus, k periódussal.
• χ(n) = 0 minden n-re, aminek van közös osztója k-val.
• χ(mn) = χ(m)χ(n) minden pozitív m-re és n-re, tehát χ teljesen multiplikatív.
• χ(1) = 1.

Példák

A legegyszerűbb példa a χ₀ főkarakter: χ₀(n)=1, ha (n,k)=1, különben 0.

Ha k=4, akkor egy további példa az a χ függvény, ami χ(n)=1, ha n 4-gyel osztva 1-et ad maradékul, χ(n)=-1, ha n 4-gyel osztva 3-at ad maradékul, a páros helyeken pedig 0.

Ha p prímszám, akkor a $\chi(n)=\left(\frac{n}{p}\right)$ Legendre-szimbólum p periódusú Dirichlet-karakter.

Tulajdonságaik

• Minden nemnulla χ(n) érték φ(k)-adik egységgyök.
• A k periódusú Dirichlet-karakterek száma φ(k) (φ(k) az Euler-féle φ-függvény)
• Ha $\chi\neq\chi_0$, akkor

$\sum_{n=1}^{k}\chi(n)=0.$

• Ha $n\not\equiv 1 \pmod{k}$, akkor

$\sum_{\chi}\chi(n)=0.$

Dirichlet-féle L-függvények

Egy χ Dirichlet-karakter segítségével a következő Dirichlet-féle L-függvény definiálható:

$L(\chi,s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}$

ahol s olyan komplex szám aminek a valós része 1-nél nagyobb. Erre teljesül az Euler-féle szorzatelőállítás:

$L(\chi,s) =\prod_{p} \left(1-\frac{\chi(p)}{p^s}\right)^{-1}$

ahol p a prímszámokon fut végig.

Az analitikus folytatás módszerével az egész komplex síkon értelmezett meromorf függvénnyé terjeszthető ki.

A Dirichlet-féle L-sorok kiterjesztései a Riemann-féle zéta-függvénynek és nemtriviális gyökeik elhelyezkedésére vonatkozik az általánosított Riemann-sejtés.

A Dirichlet-karaktereket és a hozzájuk tartozó L-függvényeket Dirichlet vezette be 1831-ben a számtani sorozatok prímszámaira vonatkozó tétele bizonyításához.