Erdős Pál

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Erdős Pál
Erdos budapest fall 1992.jpg
Erdős Pál
Született Budapest, Magyarország
1913. március 26.
Elhunyt Varsó, Lengyelország
1996. szeptember 20. (83 évesen)
Nemzetisége magyar
Foglalkozása matematikus
Díjak Wolf-díj,
Kitüntetései Akadémiai Aranyérem

Erdős Pál (Budapest, 1913. március 26. – Varsó, 1996. szeptember 20.) a 20. század egyik legkiemelkedőbb matematikusa, az MTA tagja.

Tartalomjegyzék

Életpályája [szerkesztés]

Tagja volt a matematika iránt érdeklődő budapesti középiskolásokat tömörítő Anonymus-csoportnak, Turán Pállal, Szekeres Györggyel, Klein Eszterrel és másokkal együtt. A budapesti Szent István Gimnáziumban érettségizett.

Elsősorban számelmélettel (ezen belül főleg elemi számelmélettel) és kombinatorikával, halmazelmélettel, analízissel és valószínűség-számítással foglalkozott, de a matematika szinte minden ágában alkotott. Számelméleti, illetve kombinatorikai kutatásaival ún. magyar iskolát teremtett. Életében ő volt a kombinatorika kutatásának és alkalmazásának talán legnagyobb egyénisége. Meghonosította a Ramsey-típusú jelenségek vizsgálatát és nagy úttörője volt a véletlen módszerek alkalmazásának. Zsenialitása nemcsak bizonyításaiban mutatkozott meg, hanem nagy problémafelvető is volt: művészi szintre fejlesztette a fontos problémák meglátásának képességét. Sokszor pénzdíjat tűzött ki ezekre, néhány dollárostól több ezer dollárosig.

Élete utolsó évtizedeiben valamelyest hírességgé vált, nemcsak Magyarországon, de az egész világon is. Ebben nemcsak hatalmas életműve játszott szerepet, de sajátos, örökké utazó életformája is, valamint olyan, az újságírók számára hálás téma is, mint sajátos ironikus beszédmódja („Erdős-nyelv” v. „Erdős-szótár”): úr (nő), rab (férfi), epszilon (gyerek), a Jordan-tételt tanulmányozza (börtönben van), meghalt (abbahagyta a matematikai kutatást), szörny (kutya), méreg (alkohol), lényegtelen lény (matematikával nem foglalkozó, az iránt nem érdeklődő ember). Élete végéig erős magyar akcentussal beszélte az angolt. Ver ar zö köpsz? [1] – kérdezte nemegyszer, egy ismeretlen lakás konyhájában bóklászva. Nem véletlen, hogy egy indiai egyetem folyosóján, az előadóteremből kiszűrődő hang alapján Marx György felismerte, hogy ott egy magyar matematikus tart előadást. [2]

„– Professzor úr, mondják Önről, nem tudom igaz-e, hogy az Ön életfelfogása egy kissé pesszimista.

– Nem, azt nem hiszem, hogy igaz. Illetve csak abban az értelemben, amennyiben az emberi sors pesszimista.
– Mennyiben?
– Hát, rövid ideig él az ember, és sokáig halott.”

Interjú Erdős Pállal [3]

Tagja volt a magyar (1956), az amerikai (1979), az indiai (1988), az angol (1989) és más tudományos akadémiáknak; munkásságáért több külföldi tudományos akadémia választotta tiszteletbeli tagjává. 1500 cikke jelent meg, több mint 500 társszerzővel dolgozott, 15 egyetemnek volt a díszdoktora. 1983-ban megkapta a legmagasabb nemzetközi elismerést, a Nobel-díjjal egyenértékű Wolf-díjat. Magyarországon Kossuth-díjjal (1958) és Állami Díjjal (1983) – számelméleti, approximáció- és interpoláció-elméleti, kombinatorikai, halmazelméleti, valószínűségszámítási, geometriai és komplex függvénytani kutatásaiért, iskolát teremtő tudományos és nevelő munkájáért – tüntették ki.

A matematikusok máig számon tartják (félig-meddig viccesen, félig-meddig Erdősnek emléket állítandó) az egyes matematikusokhoz rendelt ún. Erdős-számot, ami azt fejezi ki, hogy a publikálás által mennyire kerültek közel hozzá.

Fontosabb eredményei [szerkesztés]

Számelmélet [szerkesztés]

  • Elsőéves egyetemistaként egyszerű bizonyítást adott a Csebisev-tételre: minden egynél nagyobb szám és kétszerese között van prímszám.
  • Atle Selberggel elemi bizonyítást adott a prímszámtételre.
  • Belátta, hogy van olyan c<1 szám, hogy végtelen sok p prímre p'-p<c\log p ahol p' a következő prím.
  • A másik irányban belátta, hogy alkalmas c>0 konstanssal van végtelen sok p prím, hogy
p'-p>c\frac{\log p \log\log p}{(\log\log\log p)^2}.
  • J. L. Selfridge-dzsel belátta, hogy egymásutáni számok szorzata sohasem teljes hatvány.
  • Bebizonyította, hogy n\geq 2k, k\ge 4 esetén az {n}\choose{k} binomiális együttható értéke nem lehet teljes hatvány.
  • A. Ginzburggal és A. Zivvel igazolta, hogy 2n-1 egész szám közül mindig kiválasztható pontosan n, hogy az összegük osztható n-nel (Erdős–Ginzburg–Ziv-tétel).
  • Megmutatta, hogy minden monoton additív számelméleti függvény c\log n alakú.
  • Megválaszolta Szidon Simon kérdését: van természetes számoknak olyan sorozata, hogy minden egynél nagyobb n természetes szám előáll a sorozat két tagjának összegként, de legfeljebb c\log n-szer.
  • Bebizonyította, hogy a
\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{2^n-1}

sor összege irracionális szám.

  • Példát adott olyan, páratlan számokból álló végtelen sorozatra, melynek egyik tagja sem áll elő egy prímszám és egy 2-hatvány összegeként.
  • Bebizonyította, hogy ha az a_1,a_2,\dots sorozat \alpha Snyírelman-sűrűsége szigorúan 0 és 1 közötti, a b_1,b_2,\dots sorozatból K összegeként minden természetes szám előállítható, akkor az a_i+b_j sorozat Snyírelman-sűrűsége \alpha-nál nagyobb, azaz minden bázis lényeges komponens.

Kombinatorika [szerkesztés]

  • Véletlen módszerrel bebizonyította minden n és s értékére n-kromatikus s kerületű (legrövidebb kör hossza) gráf létezését.
  • n\geq 2k esetén egy n-elemű halmaznak legfeljebb
{n-1}\choose{k-1}

páronként metsző k-elemű részhalmaza adható meg (Erdős-Ko-Rado tétel)

  • Rényi Alfréddal és T. Sós Verával megmutatta, hogy ha egy véges gráfban bármely két csúcsnak pontosan egy közös szomszédja van, akkor van olyan csúcs, ami az összes többivel szomszédos (barátság-tétel).

Halmazelmélet, gráfelmélet [szerkesztés]

  • Bebizonyította, hogy ha egy kontinuumnál nagyobb teljes gráf éleit megszámlálható sok színnel színezzük, akkor van megszámlálhatónál nagyobb egyszínű teljes részgráf.
  • Bebizonyította, hogy ha \kappa szinguláris számosság akkor minden \kappa számosságú gráf tartalmaz végtelen teljes vagy \kappa számosságú üres részgráfot.
  • Hajnal Andrással megmutatta, hogy ha egy végtelen gráf nem tartalmaz négy hosszúságú kört, akkor megszámlálható sok színnel színezhető.

Analízis [szerkesztés]

  • Fellerrel és Pollard-ral megmutatta, hogy ha P(x)= p_0+p_1x+\cdots, ahol p_0,p_1,\dots\geq 0, \sum p_n=1, 1/(1-P(x))=\sum u_nx^n, ami m\geq 2-re nem hatványsora x^m-nek, akkor u_n konvergál 1/\sum k p_k-hoz.
  • W. H. J. Fuchsszal igazolta, hogy ha a_1,a_2,\dots természetes számok sorozata, akkor a_i+a_j\leq x megoldásainak száma nem lehet cx+o(x^{1/4}/\log x^{1/2}) ahol c>0. (Erdős-Fuchs tétel)

Egyéb [szerkesztés]

  • Belátta, hogy a racionális tagokból álló négyzetesen konvergens sorok metrikus tere egydimenziós, így a dimenzió nem mindig adódik össze topologikus terek szorzatánál.

Leghíresebb problémái [szerkesztés]

  • Ha az ABC háromszög belsejében levő P pont távolsága a csúcsoktól a,b,c, az oldalaktól x,y,z, akkor a+b+c\geq 2(x+y+z). (Erdős–Mordell-tétel)
  • Ha természetes számok egy sorozatának reciprokösszege divergens, akkor a sorozat tartalmaz tetszőleges hosszú számtani sorozatot.
  • Természetes számok minden pozitív felső sűrűségű sorozata tartalmaz tetszőlegesen hosszú számtani sorozatot. (Erdős–Turán-sejtés, Szemerédi tétele) [1][2]
  • Ha a kn pontból álló gráfban minden pont foka kisebb, mint k, akkor k színnel egyenletesen színezhető, tehát úgy, hogy minden színosztályban pontosan n pont van. (Hajnal–Szemerédi-tétel)
  • Ha egy gráf n darab, egymást páronként legfeljebb egy pontban metsző teljes n-es gráf uniója, akkor n színnel színezhető. (Erdős–Faber–Lovász-sejtés)
  • Ha egy végtelen gráfban a és b össze nem kötött pontok, akkor van a-t és b-t összekötő utak egy P rendszere és a-t és b-t elválasztó pontok egy S halmaza, hogy S minden pontja pontosan egy P-beli útra illeszkedik és minden P-beli út pontosan egy S-beli pontot tartalmaz (általánosított Menger-sejtés, 2007-ben igazolta Ron Aharoni és Eli Berger).

Élete évszámokban [szerkesztés]

Erdős Pál sírja Budapesten. Kozma utcai izraelita temető: 17A-6-29.

Könyvei [szerkesztés]

  • Erdős Pál, Surányi János: Válogatott fejezetek a számelméletből, Tankönyvkiadó, 1959. Második, bővített kiadás: Polygon, Szeged, 1996.
  • P. Erdős, J. Spencer: Probabilistic methods in combinatorics, Akadémiai Kiadó, Budapest, Academic Press, New York, 1974.
  • P. Erdős, A. Hajnal, A. Máté, R. Rado: Combinatorial set theory: Partition relations for cardinals, Akadémiai Kiadó, Budapest, North-Holland, Amszterdam, 1984.

Nevét viseli [szerkesztés]

Jegyzetek [szerkesztés]

  1. ↑ "Where are the cups? - Hol vannak a csészék?"
  2. ↑ Marx György: A marslakók érkezése. Magyar tudósok, akik nyugaton alakították a 20. század történelmét, Akadémiai Kiadó Zrt., 2000.
  3. ↑ Tudósportrék. Kardos István TV-sorozata, Kossuth Könyvkiadó, 1984. 261–274. o.

Források [szerkesztés]

Ajánlott irodalom [szerkesztés]

További információk [szerkesztés]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Erdős Pál témájú médiaállományokat.

Kapcsolódó szócikkek [szerkesztés]

A lap eredeti címe: „http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Erdős_Pál&oldid=13479973”