Osztóösszeg-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A szigmafüggvény grafikonja (pontdiagramja n=250-ig, kék színnel), nagyságrendi referenciaként feltüntetve az y=n+1 (lila), az y=2n (sárga) és az y=3n (világoskék) egyeneseket is

A számelméletben általában σ(n)-nel jelölt osztóösszeg-függvény avagy szigmafüggvény [1] a természetes számok halmazán értelmezett számelméleti függvény, melynek értéke az argumentum osztóinak összege (az 1-et és magát a független változóként vett számot is beleértve). Képlete tehát

 \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}; \ \sigma(n) \ := \ \sum_{ \begin{matrix}\mbox{ }_{d|n} \\ \mbox{ }_{1 \le d \le n}\end{matrix} } d [2]

Például σ(12) = 1+2+3+4+6+12 = 28; különleges (elfajult) esetekként σ(0) = 0; σ(1) = 1.[3] További példákat ld. lentebb.

Az osztóösszeg-, latinul summis divisorum-függvény, ∫ n-nel jelölve, már Leonhard Euler egy 1750-60-as években írt dolgozatában is szerepelt, a rá vonatkozó kanonikus képlettel együtt.[4]

Értékei kis számokra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
σ(n) 1 3 4 7 6 12 8 15 13 18 12 28 14 24 24 31 18 39 20 42
n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
σ(n) 32 36 24 60 31 42 40 56 30 72 32 63 48 54 48 91 38 60 56 90
n 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
σ(n) 42 96 44 84 78 72 48 124 57 93 72 98 54 120 72 120 80 90 60 168
n 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
σ(n) 62 96 107 127 84 144 68 126 96 144 72 195 74 114 124 140 96 168 80 186
n 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
σ(n) 121 126 84 224 108 132 120 180 80 234 112 168 128 144 120 252 98 171 156 217

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Algebrai-számelméleti tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Értékei prímhatványokra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha α>0 természetes szám és p∈N prímszám, akkor

 \sigma (p^{\alpha}) \ = \ \frac{p^{\alpha +1}-1}{p-1} .

Ennek speciális eseteként

 \sigma (p) \ = \ \frac{p^{2}-1}{p-1} \ = \ p+1 .

A második egyenlőség a prímszám definíciójának is egyszerű következménye, hiszen egy p prímnek pontosan két osztója van: 1 és p, ezek összege p+1. Az első egyenlőség a számelmélet alaptételéből (SzAT) következik, ugyanis pα osztói pontosan a pβ alakú számok, ahol 0≤β≤α és β∈N; tehát az osztók rendre 1, p, p2, …, pα, egy α+1 tagú, 1 kezdőelemű és p hányadosú mértani sorozat elemei, melynek összegképlete pont a fent írt egyenlőséget adja.

Kanonikus kiszámítási mód[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A multiplikativitást és az előző tulajdonságot felhasználva, az argumentum kanonikus alakja ismeretében a szigmafüggvényt kiszámító képlet adható. Eszerint ha az n>1 természetes szám prímtényezőkre bontása (kanonikus alakja)

 n \ = \ p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} ... p_{g}^{\alpha_{g}} \ = \ \prod_{i=1}^{g} p_{i}^{\alpha_{i}}

1, …, αg, g ∈N+ és p1, …, pg prímszámok); akkor érvényes:

 \sigma (n) = 
 \left( p_{1}^{0}+p_{1}^{1} + ... p_{1}^{\alpha_{1}} \right) \left( p_{2}^{0}+p_{2}^{1} + ... p_{2}^{\alpha_{2}} \right) ... \left( p_{g}^{0}+p_{g}^{1} + ... p_{g}^{\alpha_{g}} \right)  =


 =  \prod_{i=1}^{g} \sum_{j=0}^{\alpha_{i}} p_{i}^{j}  =  \prod_{i=1}^{g} \frac{ p_{i}^{\alpha_{i}+1} -1 }{p_{i}-1}.

Multiplikativitás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

(Gyengén) multiplikatív, azaz relatív prím számok szorzatán felvett értéke a számokon felvett értékek szorzata. Formálisan:

 \forall a,b \in \mathbb{Z}: \ \left( \ \ \left(a,b\right)=1 \ \Rightarrow \ \sigma(ab) = \sigma(a) \cdot \sigma(b) \ \right)

Például:

  • a=4, és σ(4) = 7;
  • b=15, és σ(15) = 24;

(lásd az Értékei kis számokra c. táblázatot)

A két szám szorzata: 4·15 = 60, valamint σ(60) = 1+2+3+4+5+6+10+12+15+20+30+60 = 168, ami pontosan 7·24.

Ez a tulajdonság a SzAT egyszerű következménye. Jelölje Σ, ahogy szokásos, egy számhalmaz vagy elemrendszer elemeinek összegét! Ekkor

  1. Ha a vagy b nulla, akkor szorzatuk is nulla, a függvény szorzatukon felvett értéke is nulla; ugyanakkor a függvény legalább egyikükön (a nulla értékűn) felvett értéke is nulla, így ez esetben az állítás igaz. Feltehető, hogy a,b>0.
  2. Jelölje A az a osztóinak halmazát, B a b osztóinak halmazát; C az ab osztóinak halmazát; ekkor a SzAT egyik következménye szerint relatív prím számok szorzatának osztói a tényezők osztóinak szorzatai; a szorzás disztributivitása alapján pedig ekkor Σ(A)Σ(B) = (a1+…+aj)(b1+…+bk) = a1Σ(B)+…+ajΣ(B) = {a1y | y∈B}+…+{ajy | y∈B} = Σ{xy|x∈A, y∈B} = ΣC = σ(ab).

A szigmafüggvény által felvett értékek osztályzása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

σ(n) akkor és csak akkor 2-hatvány, ha n=1, vagy n különböző Mersenne-prímek szorzata (Sierpiński 1958-59, Sivaramakrishnan 1989, Kaplansky 1999). A függvény értéke akkor és csak akkor páratlan, ha n négyzetszám vagy négyzetszám kétszerese. Subarao egy 1974-es eredménye szerint

nσ(n) ≡ 2 (mod φ(n))

akkor és csak akkor, ha n prím, vagy ha 4, 6, vagy 22.

Analitikus tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szigmafüggvény növekedése szabálytalan (nem monoton, nem csak az argumentum nagyságától függ, hanem annak multiplikatív szerkezetével (prímfelbontás) is erős kapcsolatban áll).

Alulról korlátos[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szigmafüggvény triviálisan alulról korlátos és alsó határa 0, hiszen értéke bármely nemnegatív argumentumra nemnegatív, és a 0-t az n = 0 esetben fel is veszi. Vagyis

min(R(σ(n))) = 0.

(A fentiek következményeképp inf(R(σ(n))) = 0.)

Felülről nem korlátos[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A függvény felülről nem korlátos, hiszen minden n természetes számra teljesül n ≦ σ(n) (ld. a következő bekezdést). Ha most K akármilyen valós szám és N tetszőleges, nála nagyobb természetes szám (ilyen az arkhimédeszi axióma alapján létezik), akkor K < N ≦ σ(N), így σ nem felülről korlátos.

Az argumentumnál nagyobb[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egyszerű tulajdonság, hogy σ(n)≥n+1, amennyiben n≥2. Ugyanis maga n és 1 mindig két különböző osztója n-nek, ha n≥2, és így, ha A-val jelöljük az ezektől különböző osztók összegét (A≥0), akkor n>2-re σ(n)=1+A+n≥n+1. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy a függvénygrafikon az n→n+1 „diszkrét egyenes fölötti síkrészbe esik”. Megjegyezzük, hogy ha n<2, akkor σ(n)=n, vagyis minden természetes számra csak a fenti állításnál „kevesebbet mondó” n≤σ(n) egyenlőtlenség igaz.

Grönwall tétele[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szigmafüggvény növekedését nagy vonalakban a következő határértékkel jellemezhetjük:


\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\sigma(n)}{n\ \log \log n}=e^\gamma .

ahol \gamma az Euler-konstans (avagy Euler-Mascheroni-állandó). Ezt a tételt Thomas Hakon Grönwall tette közzé 1913-ban.[5] Srínivásza Rámánudzsan tőle függetlenül egy hasonló, de gyengébb eredményt fedezett fel.

Értékei összege és átlaga[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\sum^{x}_{n=1}\sigma(n)=\frac{\pi^2}{6}x^2+O(x\log x)

és itt O(x\log x) helyett már nem írhatunk o(x\log\log x)-et.[6]

Erdős, Bateman, Pomerance és Straus 1980-ban publikált eredményei szerint az n szám osztói átlagának, vagyis az

 A(n) \ := \ \frac{\sigma (n)}{d(n)}

függvény folytonos összegére érvényesek a következő aszimptotikus egyenlőségek:

 S_{A}(x) \ := \ \sum_{n \le x} A(n) \ \sim \ cx^{2}( \log x)^{-\frac{1}{2}} ,

ahol c egy, a cikkben meghatározott konstans; míg

 M_{A}(x) \ := \ \sum_{A(n) \le x} 1 \ \sim \ \lambda x \log x ,

ahol λ szintén egy, a szerzők által megadott állandó.[7]

A szigmafüggvény és a Riemann-zétafüggvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Több tételt (Robin tétele, Lagarias tétele) sikerült bizonyítani a szigmafüggvény növekedésének és a Riemann-sejtés érvényességének kapcsolatáról, ezeket ld. ott.

Számok számelméleti osztályzása a szigmafüggvény értékei alapján[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tökéletes és barátságos számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Rengetegféle számosztályt vizsgáltak, közülük sokat komolyabb eredmények nélkül, melyek megkülönböztetése elemeiknek a szigmafüggvény által felvett értékei különbségén vagy azonosságán alapul.

Tökéletes számok például azok, melyeken a szigmafüggvény értékként pontosan a szám kétszeresét veszi fel (n tökéletes, ha σ(n)=2n). Azokat a számokat, ahol az osztóösszeg kisebb a szám kétszeresénél, hiányos számoknak nevezzük, amelyeknél pedig nagyobb, azokat bővelkedő számoknak.

Azokat a számpárokat, amelyekre igaz, hogy az egyik szám osztóinak összege a másik számmal egyenlő (és fordítva) barátságos számoknak hívjuk. Ezek az elnevezések (tökéletes szám, barátságos számok) mind az ókori görögöktől származnak, akik az ilyen számoknak különleges jelentőséget tulajdonítottak.

Még tökéletesebb és nem-annyira-tökéletes számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Majdnem tökéletes számoknak nevezzük azon hiányos számokat, amelyek osztóösszege csak 1-gyel marad el kétszeresüktől (azaz: valódi osztóik összege eggyel kevesebb náluknál maguknál). Egyszerű számolás (ld. a prímhatványok osztóösszegére vonatkozó képletet) mutatja, hogy minden kettőhatvány majdnem tökéletes, de nem tudjuk, rajtuk kívül vannak-e majdnem tökéletes számok.

Kvázitökéletes számok azok a bővelkedő számok, melyek osztóösszege 1-gyel több, mint kétszeresük, azaz valódi osztóik összege 1-gyel több, mint önmaguk. Nyitott probléma, hogy létezik-e akár egyetlen kvázitökéletes szám is, azt tudjuk, hogy 1035 alatt nem található ilyen.

Multiperfekt számok: m-szeresen tökéletes (vagy m-szeresen multiperfekt számok) számok azon n-ek, melyekre σ(n)=mn. A tökéletes számok kétszeresen tökéletesek. Léteznek háromszor tökéletes számok is, mint például 120. Léteznek négyszeresen, ötszörösen, hatszorosan és hétszeresen tökéletes számok is. A legnagyobb ismert multiperfekt szám kb. 1346-jegyű.[8]

Általánosítások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Leggyakrabban előforduló általánosítása az osztóhatványösszeg-függvény, mely a független változó osztói r-edik hatványainak összege (r valós szám):

 \sigma_{r}(n) \ := \ \sum_{ \begin{matrix}\mbox{ }_{d|n} \\ \mbox{ }_{1 \le d \le n}\end{matrix} } d^{r}

A függvény σm(n) jelű m-edik iteráltját is vizsgálták [9]:

σm(n) = σ(σ(…(σ(n))…))
            (m-szer)

Lehetséges más konkrét algebrai struktúrákban, például kommutatív grupoidokban, félcsoportokban vagy – a legérdekesebb esetként – gyűrűkben is rákérdezni egy adott (x) elemet „osztó” más (y) elemek (az x=dy egyenlet megoldásai, ahol y és d ismeretlenek) összegére. Akadt már egy 1961-es kísérlet a függvény bevezetésére például a Gauss-egészek körében [10] a következő módon: legyen z = \epsilon \prod_{i=1}^{s}p_{i}^{\alpha_{i}} olyan Gauss-prímfelbontása a z Gauss-egésznek, ahol ε egység, pi pedig mind az I. síknegyedbe eső prímek (tehát képzetes és valós részük egész együtthatói is nemnegatívak). A z=1 esetében félkanonikus felbontásról van szó, ahol az összes Gauss-egészekbeli prím szerepel, de 0 kitevővel. Ez esetben

\mathbb{G} \mathcal{n} \left\{ 0 \right\} \rightarrow \mathbb{G}; \ \sigma(z) \ := \ \prod_{i=1}^{s} \frac{ p_{i}^{ \alpha_{i}+1 } -1}{p_{i}-1}.

A definíció 1-re a σ(1) = 1 értéket adja. Ez azért is jó általánosítás, mivel megőrzi a multiplikativitást.[11]

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. A „szigmafüggvény” kifejezést a matematikai analízis az itt tárgyalt függvénytől különböző Weierstrass-féle szigmafüggvényre is alkalmazza (ld. angol Wikipédia).
  2. Megjegyzés: mivel n≠0 esetén 0<d|n automatikusan maga után vonja, hogy d≤n, ezért az összegzés indexében 1≤d≤n helyett egyszerűen 1≤d is írható lenne, ám ekkor a 0 helyen (és csakis itt) a függvény értéke megváltozna úgy, hogy végtelenné válna.
  3. σ(0) = 0, mert az összegzendő osztók halmaza (1≤d≤0) üres, mivel 0-nak pontosan a természetes számok a nemnegatív osztói, de ezek között nincs olyan, ami egynél nagyobb is, meg a számnál, azaz a nullánál nem nagyobb is lenne; így σ(0) egy üres összeg, ami definíció szerint 0. Ugyanakkor σ(1) = 1, mert 1-nek 1-et és önmagát, azaz 1-et is beleértve, pontosan 1 db. nemnegatív osztója van, mégpedig önmaga, ennek egytagú összege is 1.
  4. Leonhard Euler: Observatio de summis divisorum / An observation on the sum of divisors (Észrevétel az osztók összegéről; angol nyelvre fordította Jordan Bell; [1] Pdf)
  5. T.H. Grönwall életrajza, MacTutor Archive.
  6. W. W. L. Chen: Distribution of prime numbers (angol nyelvű pdf)
  7. Erdős, Bateman, Pomerance és Straus: The arithmetic mean of the divisors of an integer. Analytic Number Theory, Proc. Conf., Temple Univ./Phila. 1980; Zbl. katalógusszám 465.00008.; (Tartalom pdf-ben).
  8. Mathworld: Multiperfect number
  9. :Graeme L. Cohen: Iterating the sum-of-divisors function
  10. Spira, R.: The Complex Sum of Divisors. Amer. Math. Monthly 68, 120-124, 1961.
  11. A Gauss-egészekre értelmezett osztóösszeg-függvény értékei kisebb valós és képzetes részű elemekre: Mathworld cikk-

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Gyarmati Edit – Turán Pál: Számelmélet. Egyetemi jegyzet. Nemzeti tankönyvkiadó, Bp., 1997.
  • Mathworld: Divisor function

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]