Nagy Fermat-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Pierre de Fermat, a rejtélyes sejtés kiötlője.

Fermat a következő megjegyzést fűzte Diophantosz Aritmetika című könyvéhez:

Lehetetlen egy egész szám másodiknál nagyobb hatványát két ugyanannyiadfokú hatvány összegére bontani

és emellett még azt is állította, hogy ezt be tudja bizonyítani, csak „kevés a margó semhogy befogadná”. Fermat sejtésének némiképp formálisabb megfogalmazása a következőket:

Az aⁿ + bⁿ = cⁿ diofantikus egyenletnek nincs megoldása 2-nél nagyobb egész n esetén a nemnulla számok körében.

Természetesen n = 2-re az egyenletnek megoldásai a pithagoraszi számhármasok.

A Fermat állítása szerint létező eredeti bizonyítást máig nem sikerült megtalálni. Az utókor rendre igazolni tudta, Fermat minden más tételét, ám ez a kijelentés makacsul tartotta magát – így vált ez Fermat utolsó tételévé, a nagy Fermat-sejtéssé, melyet csak 1994-ben sikerült bizonyítani. Andrew Wiles bizonyítása óta nagy Fermat-tételen (vagy Fermat–Wiles-tételen) azt a kijelentést értjük, hogy a Fermat-sejtés állítása bizonyított.

[szerkesztés] A problémakör

$n = 2$ -re a jól ismert Pithagorasz-tételt ( $a 2 + b 2 = c 2$ ) kapjuk, melynek természetesen van (végtelen sok) megoldása: például 3, 4 és 5 vagy 5, 12 és 13. Ezeknek az ún. pithagoraszi számhármasoknak a léte azt mutatja, hogy van olyan eset, hogy két, egységnyi oldalú négyzetekből összerakott négyzetből pontosan kirakható egy nagyobb négyzet. A Fermat-tétel a síkbeli (2-dimenziós) Pithagorasz-tétel n-dimenziós általánosításáról szól: azt mondja ki, hogy ezt térben (sőt bármely 2-nél nagyobb dimenzió esetén!) sosem lehet megtenni, azaz két, egységnyi oldalú kockákból épített kocka kiskockái sosem adnak ki egy teljes nagyobb kockát.

[szerkesztés] A sejtés megszületése

Diophantosz Arithmetica című művének 85. oldala, melynek margója túl keskeny volt

A sejtéssel vélhetően sokan foglalkoztak, mégis egy 17. században élt Pierre de Fermat nevű fiatal francia matematikus (polgári foglalkozását tekintve jogász) nevéhez fűződik, aki saját bevallása szerint megtalálta a bizonyítást, ugyanis egy általa éppen olvasott könyv (Diophantosz egy műve) margójára a következőt írta:

"Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet,

Azaz:

Lehetetlen egy köbszámot felírni két köbszám összegeként, vagy egy negyedik hatványt felírni két negyedik hatvány összegeként, általában lehetetlen bármely magasabb hatványt felírni két ugyanolyan hatvány összegeként igazán csodálatos bizonyítást találtam erre a tételre. A margó azonban túlságosan keskeny, semhogy ideírhatnám,

Sajnos, ma már nem igazolható, hogy Fermat valójában milyen írásjelet tett, vagy hogy tett e egyáltalán mondanivalója után, mert eredeti kézirata sajnálatos módon eltűnt. Itt pedig csupán egy bizonytalan "írásjel" árulkodik arról, hogy utolsó mondatának igazából nem is biztos, hogy vége volt...hanem hogy valamit még el akart, vagy el kellett volna mondania...különben az végtelen, s így nem értelmezhető marad! Pedig akkoriban szokás volt egy "jottányit" sem tévedni! Igaz, Fermat máshol is sajátos módon használta az írásjeleket... Viszont pontosan ezért- érdemes odafigyelni rá!

A bizonyítást eddig egy kutatónak sem sikerült iratai között megtalálnia, ha egyáltalán leírta és létezett. Titkát magával vitte a sírba. Azóta számtalan matematikus kereste a tétel bizonyítását, köztük a legnevesebbek is, a 20. század végéig azonban senkinek nem sikerült meglelnie. Ma a matematikusok többségének az a véleménye, hogy Fermat tévedett, „csodálatos bizonyítása”, melyet valószínűleg csak fejben gondolt végig és nem elég alaposan, hibás lehetett.

Ami azt illeti, a hivatkozott bizonyítás kielégíti a sejtést abban a tekintetben is, hogy bizonyosan nem férne el a mellékelt kiadvány (amúgy eléggé széles) margóján.

Ugyanakkor sokakban mégis kétség ébredhet, mert valamely igen nagy könyv margóján eléggé apró betűkkel mégiscsak valahogyan elférne... Lehetséges tehát, hogy FERMAT nem ilyen bizonyításra gondolt? Pontosan ezért megemlíthető, hogy vannak, akik továbbra is úgy gondolják, hogy Fermat nem tévedett, és hogy sejtésére Ő maga- tétellel válaszolt!

[szerkesztés] Bizonyítási nehézségek

[szerkesztés] Egyszerűsítések

Először is, feltehetjük, hogy x, y, z páronként relatív prímek. Valóban, ha $x n + y n = z n$ teljesül és, mondjuk x-nek és y-nak van közös d osztója, akkor d osztja z-t is és így végigoszthatjuk d-vel az egyenletet: $X n + Y n = Z n$ , ahol $X = x / d$ , $Y = y / d$ és $Z = z / d$ .

Továbbá, ha igazoltuk a sejtést egy n kitevőre, akkor az igaz n minden többszörösére is. Ez onnan adódik, hogy minden nm-edik hatvány egyszersmind n-edik hatvány is: $x n m = (x m) n$ .

Végül elég a sejtést az n=4 esetre és a páratlan prím kitevők esetére igazolni. Valóban, ha ezeket az eseteket beláttuk, tetszőleges n>2 esetén így okoskodhatunk: ha n-nek van páratlan prím osztója, a fenti megjegyzéssel készen vagyunk. Ha nincs, akkor n csak kettő valamelyik hatványa lehet, s mivel n>2, n osztható 4-gyel és ismét a fenti megjegyzésre és az n=4 speciális esetre hivatkozunk.

Ennek fényében a Fermat-sejtést úgy is szokták fogalmazni, hogy p>2 prímre az $x p + y p + z p = 0$ egyenletnek nincs olyan egész megoldása, amire $xyz\neq 0$ . Ugyancsak szokás első esetnek nevezni, ha azt is feltesszük, hogy p nem osztja x, y, z egyikét sem, a második eset pedig az, ha p osztja valamelyiket. Az első eset általában jóval könnyebb a másodiknál. Például p=3-ra úgy okoskodhatunk, hogy ha x nem osztható 3-mal, akkor $x 3$ 9-cel osztva ±1-et ad maradékul:

$(3a\pm 1)^3=9(3a^3\pm 3a^2+a)\pm 1.$

De ha 9-cel osztva $x 3$ , $y 3$ , $z 3$ mindegyike 1-et vagy -1-et ad maradékul, akkor $x 3 + y 3 + z 3$ semmiképpen sem lehet 9-cel osztható, így 0 sem. Hasonlóan okoskodhatunk p=5 esetén is.

[szerkesztés] Konkrét esetek

[szerkesztés] Az n=4 eset

Az n=4 esetet maga Fermat igazolta a végtelen leszállás módszerével. Azt az erősebb állítást igazoljuk, hogy az $x 4 + y 4 = z 2$ egyenletnek nincs megoldása a pozitív egészek körében.

Tegyük fel tehát, hogy $x 4 + y 4 = z 2$ . Belátjuk, hogy van olyan megoldás is, amiben z értéke kisebb. Feltehetjük, hogy x,y és z páronként relatív prímek.

Könnyen látható, hogy z páratlan, x és y közül pontosan az egyik, mondjuk x páros. Átrendezve

x 4 = (z - y 2)(z + y 2).

Itt a jobboldal két tényezőjének ugyanaz a paritása, tehát mindkettő páros. Ha 2-nél nagyobb közös osztójuk lenne, akkor az osztaná 2z-t és $2 y 2$ -et is, ami lehetetlen. Így a két tényező legnagyobb közös osztója 2.

Ez kétféleképpen valósulhat meg.

Első eset. $z - y 2 = 2 a 4$ , $z + y 2 = 8 b 4$ alkalmas a, b egész számokkal, ahol a páratlan. Ekkor $y 2 = 4 b 4 - a 4$ de ez nem lehet, mert az utóbbi 4-gyel osztva 3-at ad maradékul.

Második eset. $z - y 2 = 8 a 4$ , $z + y 2 = 2 b 4$ alkalmas a, b pozitív egész számokkal, b páratlan. Ekkor

4 a 4 = b 4 - y 2 = (b 2 - y)(b 2 + y).

A két tényezőnek 2 nyilván közös osztója. Ha lenne nagyobb közös osztójuk, akkor teljesülne $(b, y) > 1$ , tehát $(y, z) > 1$ , amit kizártunk.

Ezért $b 2 - y = 2 c 4$ , $b 2 + y = 2 d 4$ alkalmas c, d pozitív egész számokra. Innen $c 4 + d 4 = b 2$ . Ezzel az eredeti egyenlethez hasonlót kaptunk. továbbá $y 4 < z 2$ miatt $y 2 < z$ , s mivel $z + y 2 = 2 b 4$ teljesül, $2 b 4 < 2 z$ , így $b < z$ .

[szerkesztés] Az n=3 eset

Az n=3 esetet Euler igazolta. Bizonyítása, amit Algebra című művében írt le, nem teljes. Teljes bizonyítást adott Gauss, aki azt igazolta, hogy az egyenletnek nincs megoldása az Eisenstein-egészek körében. Bizonyításának alapgondolata a következő volt. Azt igazoljuk, hogy az Eisenstein-egészek körében nincs megoldása az

x 3 + y 3 = u z 3

egyenletnek, ahol x, y, z nemnulla (tehát a megoldás nemtriviális) és u egység. Ehhez először is megállapítja, hogy minden megoldás esetén x, y vagy z osztható a $λ = 1 - ω$ Eisenstein-prímmel. Ha pedig van egy megoldás, amiben az egyik Eisenstein-szám $λ$ -nak pontosan n-edik hatványával osztható, akkor van olyan nemtriviális megoldás is, amiben az egyik szám $λ$ kisebb hatványával osztható, a többi pedig nem osztható. Ez végtelen leszálláshoz, tehát ellentmondáshoz vezet.

[szerkesztés] További esetek

Az n=5 esetet Dirichlet és Legendre látta be 1825-ben. Az n=14 eset megoldhatatlanságát Dirichlet 1832-ben igazolta. 1839-ben Lamé elintézte az n=7 esetet.

1823-ban Sophie Germain igazolta, hogy ha p>2 úgynevezett Sophie Germain-prím, azaz amire q=2p+1 is prím, akkor p-re az első esetnek nincs megoldása.

1847. március 1-jén Lamé bejelentette a Francia Tudományos Akadémiának, hogy, Liouville ideáit használva, bebizonyította az általános esetet. Ötlete az volt, hogy az $x p + y p = z p$ egyenletet nem az egész számok körében, hanem ${\mathbf Z}[\zeta_p]$ -ben vizsgálta, ahol $ζ p$ egy primitív p-edik egységgyök. Ebben a gyűrűben a baloldal elsőfokú faktorokra esik szét:

$x^p+y^p=(x+y)(x+y\zeta_p)\cdots(x+y\zeta^{p-1}_p)$

és ezeknek a faktoroknak legfeljebb $1 - ζ p$ lehet a közös prímosztójuk. Már az említett ülésen maga Liouville rámutatott, hogy az okoskodás implicite felhasználja, hogy a számelmélet alaptétele teljesül ${\mathbf Z}[\zeta_p]$ -ben, ami legalábbis bizonyításra szorul. Nem sokkal ezután Kummer rámutatott, hogy p=23-ra nem is teljesül az egyértelmű prímfaktorizáció tétele. A helyzet megmentésére Kummer kidolgozta az ideálok elméletét és így sikerült igazolnia a Fermat-sejtést az úgynevezett reguláris prímekre. A p prímszám reguláris, ha p nem osztója a ${\mathbf Q}(\zeta_p)$ körosztási test osztályszámának. A 100-nál kisebb prímszámok közül csak 37, 59 és 67 nem reguláris, úgyhogy ezeket az eseteket más módszerrel kezelve Kummernak 1857-ben sikerült a Fermat-sejtést minden 100-nál kisebb kitevőre igazolnia. Másrészt megoldatlan sejtés, hogy végtelen sok reguláris prím van-e, míg azt tudjuk, hogy az irreguláris prímekből végtelen sok van (K.L.Jensen, 1915).

1909-ben Wieferich igazolta, hogy ha p>2-re az első esetnek van megoldása, akkor

$2^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}.$

1913-ban Meissner belátta, hogy ez teljesül p=1093-ra, 1922-ben Beeger pedig p=3511-re. Számítógépekkel kimutatták, hogy nincs több ilyen $p<3\cdot 10^9$ .

[szerkesztés] A Fermat-tétel bizonyítása

A Fermat-tétel az egyik leghosszabban bizonyítatlanul maradó sejtés volt. A ma ismert bizonyítás Andrew Wiles, princetoni professzor érdeme, hétévnyi titokban végzett munkával sikerült belátnia az állítást 1995-ben. Noha korunkban egyre inkább az a jellemző, hogy a bizonyításokon és egyéb tudományos felfedezéseken többfős kutatócsapatok dolgoznak, Wiles majdnem végig önállóan dolgozott. A bizonyítás első, 1993-as prezentálása után egy látszólag fatális hibát fedeztek fel, ám Wilesnak egy tanítványa segítségével 1994 őszére sikerült kijavítania a bizonyítást, amelyet végül 1995-ben fogadtak el. A bizonyítást szinte csak néhány számelméleti matematikus érti.

[szerkesztés] Euler általánosítása

1769 körül Euler kimondta azt az általánosabb sejtést, hogy $n\geq 3$ -ra semelyik n-edik hatvány nem áll elő n-nél kevesebb n-edik hatvány összegeként. Ez a sejtés azonban hamis: $958004 + 217519 4 + 414560 4 = 422481 4$ és $275 + 84 5 + 110 5 + 133 5 = 144 5$ (L. J. Lander és T. R. Parkin, 1966).

[szerkesztés] Érdekességek

Egy legenda szerint Paul Friedrich Wolfskehl német matematikus életét a Fermat-sejtés mentette meg. Lánykérőbe ment, de kikosarazták, ezért – pontban éjfélkor – öngyilkos akart lenni. Hogy gyorsabban teljen az idő, a könyvtárában lévő matematikai cikkeket kezdte olvasgatni, és felkeltette az érdeklődését Ernst Eduard Kummer írása, amely egy hibát mutatott ki Augustin Cauchy Fermat-sejtésre adott bizonyításában. Wolfskehl hajnalig próbálta bebizonyítani, hogy Cauchy bizonyítása javítható, és annyira fellelkesítette a probléma, hogy visszanyerte az életkedvét. Ezért 100 000 márka jutalmat ajánlott fel annak, aki bebizonyítja a tételt.^[1]
1994. április 1-jén a matematikusok között körbejárt egy email, ami bejelentette, hogy Noam Elkies, a Harvard Egyetem professzora, igen nagy számokból álló ellenpéldát talált a sejtésre. Ekkor Wiles bizonyítása éppen gyengélkedett: az előző évben felfedezett hézagot csak 1994 októberében lesz képes kitölteni. Sok matematikus a feszült figyelemben nem figyelt a dátumra és összes kollégájának elküldte a jól megfogalmazott szakszövegnek álcázott tréfát.