Diofantoszi egyenlet

A matematikában a diofantoszi egyenlet (a 3. században élt görög matematikusról, Diophantoszról) olyan egész együtthatós, általában többismeretlenes algebrai egyenlet, amelynek megoldásait az egész, ritkábban a természetes számok, illetve racionális számok körében keressük.

Legegyszerűbb az elsőfokú, kétismeretlenes diofantoszi egyenlet, melyet a következő alakban szokás felírni: ax+by = c. Ennek az egyenletnek akkor és csakis akkor van egész számokból álló megoldása, ha az ismeretlenek együtthatóinak legnagyobb közös osztója egyben a jobb oldalra írt állandónak is osztója. (Ez a megállapítás általánosan is igaz minden diofantoszi egyenletre.) Az elsőfokú Diofantoszi egyenlet megoldására ismeretesek különböző eljárások, de a magasabb fokúakra alig ismerünk általános megoldási módszereket. A fentebbi tulajdonságuk alapján a diofantoszi egyenletet fel lehet használni legnagyobb közös osztó megállapítására is.

Példák

Lineáris egyenletek

Az $ax+by=m$ egyenlet egész számokban akkor és csak akkor oldható meg, ha $(a,b)| m$. Ha kikötjük, hogy a,b,m pozitív egész legyen és $(a,b)=1$, akkor pontosan $(a-1)(b-1)/2$ olyan m szám van, ami nem állítható elő nemnegatív x-szel és y-nal $ax+by$ alakban, a legnagyobb közülük $(a-1)(b-1)-1$. Általában az $a_1x_1+\cdots+a_nx_n=m$ egyenlet pontosan akkor oldható meg egészekben,ha $(a_1,\dots,a_n)|m$.

Pell-egyenlet

A Pell-egyenlet az $x^2-dy^2=1$ diofantoszi egyenlet, ahol $d>0$ nem négyzetszám. Az $x=\pm 1$, $y=0$ megoldás triviális, tehát a nemtriviális megoldásokat keressük. Minden Pell-egyenletnek végtelen sok megoldása van és ezek $(\pm x_n,\pm y_n)$ alakban írhatók, ahol $x_n+\sqrt{d}y_n=(x_1+\sqrt{d}y_1)^n$ teljesül ($(x_1,y_1)$ az alapmegoldás).

Pitagoraszi számhármasok

A pitagoraszi számhármasok az $x^2+y^2=z^2$ diofantoszi egyenlet megoldásait keressük. A megoldások általános alakja $x=t2uv$, $y=t(u^2-v^2)$, $z=t(u^2+v^2)$.

A pitagoraszi számhármasok általánosításaként Fermat azt állította 1637-ben, hogy ha 2 helyett nagyobb egész kitevős hatványt veszünk, akkor az egyenletnek nem lesznek pozitív egészekből álló megoldásai. Ennek igazolása több, mint 350 évbe telt, és nagy hatással volt az algebra fejlődésére a test- és gyűrűelmélet terén.

Két négyzetszám összege

A kétnégyzetszám-tétel szerint, ha n természetes szám, akkor az $x^2+y^2=n$ diofantoszi egyenlet pontosan akkor oldható meg, ha n prímhatvány-felbontásában minden 4k-1 alakú prím páros kitevővel szerepel. A megoldások száma is pontosan meghatározható.

Gyökös diofantoszi egyenletek

A gyökös diofantoszi egyenletek alakja

$a_1 \sqrt[p_1]{q_1} \pm a_2\sqrt[p_2]{q_2} ... \pm a_s\sqrt[p_s]{q_s}=0$

ahol

$a_1,a_2,...,a_s, q_1,q_2,...,q_s,p_1,p_2,...,p_s,s$

mind egészek.

Ezekre az egyenletekre a lineáris egyenletekhez hasonlóan van általános algoritmus.

Exponenciális diofantoszi egyenletek

Ha egy diofantoszi egyenletben további ismeretlen(ek) vannak, amely(ek) kitevőként szerepel(nek), akkor ez exponenciális diofantoszi egyenlet. Egy példa ilyenre a Ramanujan-Nagell egyenlet, 2ⁿ − 7 = x². Ilyen egyenletekre nem létezik általános elmélet. Speciális esetekre, mint a Catalan-sejtés, van megoldás; azonban a többségüket ad hoc módon oldják meg, akár a Størmer-módszerrel, vagy próbálgatással.

Elemzésük

A diofantoszi egyenletek megoldásainak keresésében segítenek ezek a kérdések:

• Megoldható az adott egyenlet?
• Vannak-e még más megoldások is az ismerteken kívül?
• Véges, vagy végtelen megoldás van-e?
• Tényleg létezik-e minden, elméletben létező megoldás?
• Kiszámítható-e az összes megoldás?

Ezek sokszor évszázadokig nyitott kérdések voltak. Fermat sejtését csak a 20. század végén tudta bizonyítani Andrew Wiles az algebrai geometria eszközeivel. Az 1922-ben felvetett Mordell-sejtést, ami szerint az 1-nél nagyobb nemszámú görbéknek csak véges sok racionális pontja lehet, 1983-ban látta be Gerd Faltings. Ez a Faltings-tétel.

Hilbert tizedik problémája

A diofantoszi egyenletek megoldhatósága a David Hilbert által 1900-ban kitűzött problémák közé tartozott. Ez volt a nevezetes tizedik probléma. 1970-ben Jurij Vlagyimirovics Matijasevics oldotta meg azzal, hogy a probléma eldönthetetlen, vagyis nincs közös algoritmus az összes diofantoszi egyenletre.

A diofantoszi egyenletek elmélete

Az ismertebb általános módszerek a végtelen leszállás és a Hasse-elv. Ezek inkább a megoldhatatlanság bizonyítására, mint a megoldások keresésére valók. A végtelen leszállás alkalmazásakor egy feltételezett legkisebb megoldásból még kisebb megoldásokat gyártanak, ezzel kimutatják, hogy az egyenlet nem oldható meg a pozitív egészek halmazán. A Hasse-elv a kínai maradéktétel felhasználásával mutatja ki az egyenlet megoldhatatlanságát.

Források

• Matiyasevich, Yuri Vladimirovich. Hilbert's Tenth Problem. Kiadó: Foundations of Computing, MIT Press. Cambridge, Massachusetts and London, England, 1993. ISBN 0-262-13295-8.
• Mordell, L. J.. Diophantine equations. Academic Press (1969). ISBN 0-12-506250-8 
• Schmidt, Wolfgang M.. Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag (2000) 
• Exponential Diophantine equations, Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press (1986). ISBN 0-521-26826-5 
• Smart, N. P.. The algorithmic resolution of Diophantine equations, London Mathematical Society Student Texts. Cambridge University Press (1998). ISBN 0-521-64156-X 
• Stillwell, John. Mathematics and its History, Second Edition, Springer Science + Business Media Inc. (2004). ISBN 0387953361 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Diophantine equation című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.