Pitagoraszi számhármasok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A pitagoraszi számhármasok azok a pozitív egészekből álló (x,y,z) számhármasok, amelyekre x^2+y^2=z^2 teljesül. Más szóval az x^2+y^2=z^2 diofantoszi egyenlet megoldásai. Ekkor Pitagorasz-tétel értelmében x, y, z egy derékszögű háromszög oldalai.

Példák (d tetszőleges pozitív egész szám):

x y z
4d 3d 5d
12d 5d 13d
24d 7d 25d
15d 8d 17d
40d 9d 41d

A fenti egyenlet összes megoldása megkapható a következő alakban:

x=2dst, \quad y=d(s^2-t^2), \quad z=d(s^2+t^2)

vagy ebből, x és y felcserélésével (itt s>t pozitív egész számok). Például, ha d=1, s=2, t=1, akkor az ismert x=4, y=3, z=5 hármast kapjuk.

Az ilyen hármasok valóban mindig kielégítik az egyenletet:

\left(2dst\right)^2+d^2(s^2-t^2)^2=4d^2s^2t^2+d^2(s^4-2s^2t^2+t^4)=d^2s^4+2d^2s^2t^2+d^2t^4=d^2(s^2+t^2)^2.

A másik irányhoz tegyük fel, hogy az x, y, z számokra x^2+y^2=z^2 teljesül. Leosztva a számok legnagyobb közös osztójával, feltehetjük, hogy legnagyobb közös osztójuk 1. De ekkor x, y és z közül bármely kettő is relatív prím. x és y közül pontosan az egyik páros, a másik páratlan, legyen mondjuk x páros. Ekkor

x^2=z^2-y^2=(z+y)(z-y)

a jobb oldal mindkét tényezője páros (különbségük páros, de mindkettő páratlan nem lehet): z+y=2a, z-y=2b. Itt a és b relatív prímek, hiszen közös osztójuk osztaná y=a-b, z=a+b-t is. Mivel x^2=4ab, azaz ab négyzetszám, a és b maguk is négyzetszámok: a=s^2, b=t^2. Ezzel meg is van a kívánt előállítás: x^2=4s^2t^2 miatt x=2st, y=a-b=s^2-t^2, z=a+b=s^2+t^2.