Pitagoraszi számhármasok

A pitagoraszi számhármasok azok a pozitív egészekből álló (x,y,z) számhármasok, amelyekre $x^2+y^2=z^2$ teljesül. Más szóval az $x^2+y^2=z^2$ diofantoszi egyenlet megoldásai. Ekkor Pitagorasz-tétel értelmében x, y, z egy derékszögű háromszög oldalai.

Példák (d tetszőleges pozitív egész szám):

x	y	z
4d	3d	5d
12d	5d	13d
24d	7d	25d
15d	8d	17d
40d	9d	41d

A fenti egyenlet összes megoldása megkapható a következő alakban:

$x=2dst, \quad y=d(s^2-t^2), \quad z=d(s^2+t^2)$

vagy ebből, x és y felcserélésével (itt s>t pozitív egész számok). Például, ha d=1, s=2, t=1, akkor az ismert x=4, y=3, z=5 hármast kapjuk.

Az ilyen hármasok valóban mindig kielégítik az egyenletet:

$\left(2dst\right)^2+d^2(s^2-t^2)^2=4d^2s^2t^2+d^2(s^4-2s^2t^2+t^4)=d^2s^4+2d^2s^2t^2+d^2t^4=d^2(s^2+t^2)^2.$

A másik irányhoz tegyük fel, hogy az x, y, z számokra $x^2+y^2=z^2$ teljesül. Leosztva a számok legnagyobb közös osztójával, feltehetjük, hogy legnagyobb közös osztójuk 1. De ekkor x, y és z közül bármely kettő is relatív prím. x és y közül pontosan az egyik páros, a másik páratlan, legyen mondjuk x páros. Ekkor

$x^2=z^2-y^2=(z+y)(z-y)$

a jobb oldal mindkét tényezője páros (különbségük páros, de mindkettő páratlan nem lehet): $z+y=2a$, $z-y=2b$. Itt a és b relatív prímek, hiszen közös osztójuk osztaná $y=a-b, z=a+b$-t is. Mivel $x^2=4ab$, azaz ab négyzetszám, a és b maguk is négyzetszámok: $a=s^2$, $b=t^2$. Ezzel meg is van a kívánt előállítás: $x^2=4s^2t^2$ miatt $x=2st$, $y=a-b=s^2-t^2$, $z=a+b=s^2+t^2$.