Hamilton-operátor

A Hamilton-operátor a kvantummechanikában a részecske kanonikus változókkal (koordinátákkal és hozzájuk konjugált impulzusokkal) kifejezett energiájának az operátora. A klasszikus mechanikai $H=H(p_i,q_i)$ Hamilton-függvényből egyszerűbb esetekben a $q_i \to \hat{q_i},\ p_i\to\hat{p_i}$ helyettesítéssel ("operátorosítás") kapjuk. Koordiátareprezentációban $\hat{q}_i=q_i$ és $\hat{p_i}= \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial q_i}$.

A legegyszerűbb esetben (potenciálos erő hatása alatt mozgó részecskére):

$\hat{H}=\frac{{\hat{\mathbf{P}}}^2}{2m} + V(\mathbf{X})= -\frac{\hbar^2}{2m} (\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}) + V(x,y,z)= -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V\,,,$

ahol $V(x,y,z)$ a részecskére ható erő potenciálja, azaz $\mathbf{F}=-\nabla V$.